Calcule as integrais indefinidas:
\int x \tan ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,tan^2x,dx
Aqui vamos usar duas ideias principais: a identidade trigonométrica
tan^2x=sec^2x-1
e o método de integração por partes.

Passo 2

Usando tan^2x=sec^2x-1 reescrevemos
integral x,tan^2x,dx =integral xl(sec^2x-1r),dx =integral x,sec^2x,dx-integral x,dx

Passo 3

Para calcular integral x,sec^2x,dx aplicamos integração por partes, escolhendo
u = x, dv = sec^2x,dx Longrightarrow du = dx, v = tan x
Logo,
integral x,sec^2x,dx = x,tan x - integral tan x,dx = x,tan x + lnl|cos xr| + C1,
pois integral tan x,dx = -lnl|cos xr|.

Passo 4

Agora voltamos à expressão original:
integral x,tan^2x,dx =l(x,tan x + lnl|cos xr|r) -integral x,dx = x,tan x + lnl|cos xr| - x^22 + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

integral x,tan^2x,dx = x,tan x - x^22 + lnl|cos xr| + C

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