Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral 1raizx,(x+1),dx
O conteúdo envolvido é técnica de substituição para eliminar a raiz quadrada e transformar a integral em uma forma mais simples.

Passo 2

Observe que a presença de raizx sugere a substituição
u = raizx,
pois assim teremos uma relação simples entre x e u.

Passo 3

Da substituição u=raizx segue
x = u^2 e dx = 2u,du
Substituindo na integral original:
integral 1raizx,(x+1),dx = integral 1u,(u^2+1),(2u,du) = integral 2u^2+1,du

Passo 4

A integral de tfrac2u^2+1 é imediata pelo fato de
integral 1u^2+1,du = arctan(u).
Logo,
integral 2u^2+1,du = 2,arctan(u) + C
Voltando à variável original x, como u=raizx, obtemos a antiderivada desejada.

Resposta

2arctan(raizx) + C

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