Calcule as integrais indefinidas:
\int \tan ^{7}\left(\frac{x}{2}\right) \operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral tan^7!l(tfracx2r),sec^2!l(tfracx2r),dx
O conteúdo aqui é mudança de variável (substituição): percebemos que a derivada de tan(x/2) envolve sec^2(x/2), então vamos usar
u = tanl(tfracx2r)

Passo 2

Calculemos du. Como
u = tanl(tfracx2r) Longrightarrow du = tfrac12,sec^2!l(tfracx2r),dx,
seguindo que
sec^2!l(tfracx2r),dx = 2,du

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral tan^7!l(tfracx2r),sec^2!l(tfracx2r),dx = integral u^7,l(2,dur) = 2integral u^7,du

Passo 4

Agora integramos potência de u:
2integral u^7,du = 2cdot u^88 + C = u^84 + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos
u = tanl(tfracx2r) Longrightarrow integral tan^7!l(tfracx2r),sec^2!l(tfracx2r),dx = 14,tan^8!l(tfracx2r) + C

Resposta

boxed14,tan^8!l(tfracx2r) + C

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