Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{\operatorname{sec} (\theta) \tan (\theta)}{\sqrt{\operatorname{sec} (\theta)}} d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral sec(theta),tan(theta)raizsec(theta),dtheta
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas usando substituição.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dentro da integral, combinando a potência de sec(theta):
sec(theta),tan(theta)raizsec(theta) =sec(theta)^1-tfrac12,tan(theta) =sec(theta)^tfrac12,tan(theta)

Passo 3

Para integrar algo da forma sec(theta)^tfrac12tan(theta), a ideia é usar a substituição
u = sec(theta),
pois
du = sec(theta),tan(theta),dtheta

Passo 4

Reescrevendo o integrando em função de u:
sec(theta)^tfrac12tan(theta),dtheta =sec(theta)^-tfrac12,l[sec(theta)tan(theta),dthetar] =u^-tfrac12,du

Passo 5

Agora integramos em u:
integral u^-tfrac12,du =u^tfrac12tfrac12+C =2,u^tfrac12+C

Passo 6

Voltando à variável original theta, temos
2,u^tfrac12+C =2raizsec(theta)+C

Resposta

2raizsec(theta)+C

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