Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função racional
integral 3x - 1x^2 + 6x - 1,dx
O conteúdo é integração de funções racionais, onde vamos usar a técnica de decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador mais uma constante, e em seguida integrar termo a termo.

Passo 2

Compute a derivada do denominador D(x)=x^2+6x-1:
D'(x)=2x+6
Queremos escrever o numerador 3x-1 como
3x - 1 = alpha,(2x + 6) + beta
Igualando coeficientes obtemos
2alpha = 3, 6alpha + beta = -1
de onde alpha = tfrac32 e beta = -10. Logo,
3x - 1 = 32(2x+6) -10

Passo 3

Substituindo na integral:
integral 3x - 1x^2+6x-1,dx = integral tfrac32(2x+6) - 10x^2+6x-1,dx = 32integral 2x+6x^2+6x-1,dx ;-;10integral 1x^2+6x-1,dx

Passo 4

O primeiro termo é imediato, pois ddx(x^2+6x-1)=2x+6:
32integral 2x+6x^2+6x-1,dx = 32lnl|x^2+6x-1r|

Passo 5

No segundo termo completamos quadrado no denominador:
x^2+6x-1 = (x+3)^2 - 10
Logo
integral 1x^2+6x-1,dx = integral 1(x+3)^2 - (raiz10)^2,dx = 12raiz10ln|x+3-raiz10,x+3+raiz10,|
Multiplicando por -10
-10integral 1x^2+6x-1,dx = -102raiz10 ln|x+3-raiz10,x+3+raiz10,| = -raiz102 ln|x+3-raiz10,x+3+raiz10,|

Passo 6

Somando os dois resultados obtemos a forma final:
integral 3x - 1x^2+6x-1,dx = 32lnl|x^2+6x-1r| ;-;raiz102 ln|x+3-raiz10,x+3+raiz10,| + C

Resposta

integral 3x - 1x^2+6x-1,dx = 32lnl|x^2+6x-1r| -raiz102ln!l|tfracx+3-raiz10x+3+raiz10r| + C

Exercícios relacionados