Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x-1} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função racional
O conteúdo é integração de funções racionais, onde vamos usar a técnica de decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador mais uma constante, e em seguida integrar termo a termo.
Passo 2
Compute a derivada do denominador :
Queremos escrever o numerador como
Igualando coeficientes obtemos
de onde e . Logo,
Passo 3
Substituindo na integral:
Passo 4
O primeiro termo é imediato, pois :
Passo 5
No segundo termo completamos quadrado no denominador:
x^2+6x-1 = (x+3)^2 - 10
Logo
integral 1x^2+6x-1,dx = integral 1(x+3)^2 - (raiz10)^2,dx = 12raiz10ln|x+3-raiz10,x+3+raiz10,|