Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{4 x+7}{\sqrt{3 x^{2}-2 x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 4x+7raiz3x^2-2x+1,dx
O conteúdo aqui é manipular a integral de uma razão cujo denominador é raizu com u=3x^2-2x+1. Vamos usar a ideia de escrever o numerador como múltiplo de u' mais constante, para dividir a integral em duas partes conhecidas.

Passo 2

Definimos
u = 3x^2-2x+1,
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u' = dudx = 6x - 2

Passo 3

Queremos constantes A e B tais que
4x+7 = A,(6x-2) + B
Comparando coeficientes:
6A = 4 Rightarrow A = tfrac23,
-2A + B = 7 Rightarrow -tfrac43 + B = 7 Rightarrow B = tfrac253

Passo 4

Reescrevendo a integral:
integral 4x+7raizu,dx = integral A,(6x-2)raizu,dx ;+; integral Braizu,dx
Substituindo A e B:
= 23integral u'raizu,dx ;+;253integral dxraizu

Passo 5

Para a primeira parte usamos integral u'raizu,dx = 2raizu. Então
23integral u'raizu,dx = 23cdot 2raizu = 43,raiz3x^2-2x+1

Passo 6

Para a segunda parte usamos a fórmula padrão
integral dxraizax^2+bx+c = 1raizalnl|2ax + b + 2raizaraizax^2+bx+cr| + C
Aqui a=3, b=-2, u=3x^2-2x+1, logo
integral dxraizu = 1raiz3 lnl|6x - 2 + 2raiz3raiz3x^2-2x+1r|
Multiplicando por tfrac253
253integral dxraizu = 253raiz3 lnl|6x - 2 + 2raiz3raiz3x^2-2x+1r|

Resposta

Somando as duas partes, a primitiva geral é
boxed 43,raiz3x^2-2x+1 ;+; 253raiz3 lnl|6x - 2 + 2raiz3raiz3x^2-2x+1r| + C

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