Calcular as integrais indefinidas
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Pergunta única: encontrar uma primitiva da função dada. Informações úteis que extraímos do enunciado:
- A integral é soma de duas parcelas; por linearidade podemos tratar cada parcela separadamente.
- A primeira parcela é
. - A segunda parcela é
.
Passo 2
Usar linearidade da integral: escrever a integral como soma de duas integrais mais simples:
Agora vamos tratar cada uma separadamente.
Passo 3
Resolver a integral da segunda parcela (mais direta):
Separar em duas frações:
Vou calcular cada uma:
- Para
: observe a derivada de .
Escrevendo, tem-se
Portanto
Assim
- Para
: lembrar a derivada de . De fato, definindo ,
Logo
e
Somando as duas partes (absorvendo constantes em uma só constante
), obtemos a primitiva da segunda parcela:
Passo 4
Agora a primeira parcela, que é a mais trabalhosa:
Primeira ideia prática: tentar reescrever o integrando como produto de duas funções de forma a permitir integração por partes. Note que
Esta escrita é útil porque
tem primitiva elementar (é a derivada de
), enquanto
tem derivada relativamente simples (aparecerá um
). Então escolhemos integrar por partes.
Lembrete (fórmula de integração por partes): para duas funções diferenciáveis
e
,
No nosso caso, tomamos
Explico porque:
tem primitiva
(ver abaixo), e
será calculável usando a derivada de
.
Calcular
: com
temos
, então
Logo
.
Calcular
: primeiro lembrar a fórmula para derivada de
. Escreve-se
. Derivando,
Agora
, então usando regra do produto / cadeia,
Portanto
.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Interpretação e conclusão sobre a primeira parcela: chegamos a
A integral remanescente
contém o fator
multiplicando
e
; não é uma integral que possa ser expressa por primitiva elementar simples utilizando apenas as técnicas elementares (substituições elementares, partes repetidas, decomposições racionais, funções trigonométricas e logaritmos básicos). Portanto a escrita acima é uma forma legítima de representar a primitiva: isolamos uma parte elementar
e expressamos o restante como integral que, se necessário, seria tratado por métodos numéricos ou por desenvolvimento em séries ou por funções especiais.
Passo 6
Juntando as duas parcelas (a parte tratada elementarmente da primeira parcela, a integral remanescente, e a primitiva da segunda parcela), obtemos a primitiva geral da função original. Reunindo e adicionando a constante de integração
:
Observação final: a parte elementar explícita é útil (especialmente a primitiva da segunda parcela e o termo
). Se for preciso avaliar numericamente a primitiva para valores concretos, a integral remanescente pode ser aproximada numericamente. Se o exercício exigia uma primitiva completamente em funções elementares, então não há forma simples conhecida de escrever a primitiva da primeira parcela usando apenas funções elementares; por isso deixamos a contribuição residual em forma integral.