Calcular as integrais indefinidas
\int\left(\frac{x^{x}}{1+e^{2 x}}+\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\right) d x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{x^{x}}{1+e^{2 x}}+\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\right)\,dx.
Pergunta única: encontrar uma primitiva da função dada. Informações úteis que extraímos do enunciado:
  • A integral é soma de duas parcelas; por linearidade podemos tratar cada parcela separadamente.
  • A primeira parcela é \dfrac{x^{x}}{1+e^{2x}}.
  • A segunda parcela é \dfrac{2x+3}{\sqrt{1-4x^{2}}}.

Passo 2

Usar linearidade da integral: escrever a integral como soma de duas integrais mais simples:
\int\left(\frac{x^{x}}{1+e^{2 x}}+\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\right)\,dx = \int\frac{x^{x}}{1+e^{2 x}}\,dx + \int\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\,dx.
Agora vamos tratar cada uma separadamente.

Passo 3

Resolver a integral da segunda parcela (mais direta):
\int\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\,dx.
Separar em duas frações:
\frac{2x+3}{\sqrt{1-4x^{2}}}=\frac{2x}{\sqrt{1-4x^{2}}}+\frac{3}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Vou calcular cada uma:
  1. Para \dfrac{2x}{\sqrt{1-4x^{2}}}: observe a derivada de \sqrt{1-4x^{2}}.
    Escrevendo g(x)=\sqrt{1-4x^{2}}=(1-4x^{2})^{1/2}, tem-se
g'(x)=\tfrac{1}{2}(1-4x^{2})^{-1/2}\cdot(-8x)=-\frac{4x}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Portanto
\frac{2x}{\sqrt{1-4x^{2}}}=-\frac{1}{2}\,g'(x)=-\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\sqrt{1-4x^{2}}.
Assim
\int\frac{2x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx=-\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+C_1.
  1. Para \dfrac{3}{\sqrt{1-4x^{2}}}: lembrar a derivada de \arcsin(2x). De fato, definindo t=2x,
\frac{d}{dx}\arcsin(2x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Logo
\frac{3}{\sqrt{1-4x^{2}}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}=\frac{3}{2}\,\frac{d}{dx}\arcsin(2x),
e
\int\frac{3}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx=\frac{3}{2}\arcsin(2x)+C_2.
Somando as duas partes (absorvendo constantes em uma só constante C), obtemos a primitiva da segunda parcela:
\int\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\,dx=-\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{3}{2}\arcsin(2x)+C.

Passo 4

Agora a primeira parcela, que é a mais trabalhosa:
I_1=\int\frac{x^{x}}{1+e^{2 x}}\,dx.
Primeira ideia prática: tentar reescrever o integrando como produto de duas funções de forma a permitir integração por partes. Note que
\frac{x^{x}}{1+e^{2x}}=\bigl(x^{x}e^{-x}\bigr)\cdot\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.
Esta escrita é útil porque \frac{e^{x}}{1+e^{2x}} tem primitiva elementar (é a derivada de \arctan(e^x)), enquanto x^{x}e^{-x} tem derivada relativamente simples (aparecerá um \ln x). Então escolhemos integrar por partes.
Lembrete (fórmula de integração por partes): para duas funções diferenciáveis u e v,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
No nosso caso, tomamos
u = x^{x}e^{-x}, \qquad dv = \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx.
Explico porque: dv tem primitiva v=\arctan(e^{x}) (ver abaixo), e du será calculável usando a derivada de x^{x}.
Calcular v: com t=e^{x} temos dt=e^{x}dx, então
\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx=\int\frac{dt}{1+t^{2}}=\arctan(t)=\arctan(e^{x}).
Logo v=\arctan(e^{x}).
Calcular du: primeiro lembrar a fórmula para derivada de x^{x}. Escreve-se x^{x}=e^{x\ln x}. Derivando,
\frac{d}{dx}x^{x}=x^{x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x)=x^{x}(\ln x+1).
Agora u=x^{x}e^{-x}, então usando regra do produto / cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}e^{-x}\bigr)=e^{-x}\frac{d}{dx}x^{x}+x^{x}\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}\,x^{x}(\ln x+1) + x^{x}(-e^{-x}) = e^{-x}x^{x}\ln x.
Portanto du = e^{-x}x^{x}\ln x\,dx.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
I_1=\int u\,dv = u v - \int v\,du = x^{x}e^{-x}\arctan(e^{x}) - \int \arctan(e^{x})\cdot e^{-x}x^{x}\ln x\,dx.

Passo 5

Interpretação e conclusão sobre a primeira parcela: chegamos a
\int\frac{x^{x}}{1+e^{2x}}\,dx = x^{x}e^{-x}\arctan(e^{x}) - \int e^{-x}x^{x}\ln x\;\arctan(e^{x})\,dx.
A integral remanescente \displaystyle \int e^{-x}x^{x}\ln x\;\arctan(e^{x})\,dx contém o fator \ln x multiplicando x^{x}e^{-x} e \arctan(e^{x}); não é uma integral que possa ser expressa por primitiva elementar simples utilizando apenas as técnicas elementares (substituições elementares, partes repetidas, decomposições racionais, funções trigonométricas e logaritmos básicos). Portanto a escrita acima é uma forma legítima de representar a primitiva: isolamos uma parte elementar x^{x}e^{-x}\arctan(e^{x}) e expressamos o restante como integral que, se necessário, seria tratado por métodos numéricos ou por desenvolvimento em séries ou por funções especiais.

Passo 6

Juntando as duas parcelas (a parte tratada elementarmente da primeira parcela, a integral remanescente, e a primitiva da segunda parcela), obtemos a primitiva geral da função original. Reunindo e adicionando a constante de integração C:
\int\left(\frac{x^{x}}{1+e^{2 x}}+\frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\right)\,dx = x^{x}e^{-x}\arctan(e^{x}) - \int e^{-x}x^{x}\ln x\;\arctan(e^{x})\,dx -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{3}{2}\arcsin(2x)+C.
Observação final: a parte elementar explícita é útil (especialmente a primitiva da segunda parcela e o termo x^{x}e^{-x}\arctan(e^{x})). Se for preciso avaliar numericamente a primitiva para valores concretos, a integral remanescente pode ser aproximada numericamente. Se o exercício exigia uma primitiva completamente em funções elementares, então não há forma simples conhecida de escrever a primitiva da primeira parcela usando apenas funções elementares; por isso deixamos a contribuição residual em forma integral.

Resposta

x^{x}e^{-x}\arctan(e^{x}) - \int e^{-x}x^{x}\ln x\;\arctan(e^{x})\,dx -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{3}{2}\arcsin(2x)+C

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