Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{x}}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{x}}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando regras de potências. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2} e que \dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}, temos:
\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}}=\frac{x^{2}}{x^{1/2}}-\frac{1}{x^{1/2}}=x^{2-\tfrac{1}{2}}-x^{-\tfrac{1}{2}}=x^{3/2}-x^{-1/2}.
Agora a integral fica
\int \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}}\,dx=\int\bigl(x^{3/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Lembrando a regra de potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Breve justificativa: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa expressão é uma primitiva de x^{n}. (O caso n=-1 leva ao \ln|x|, mas não aparece aqui.)

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo:
Para x^{3/2}, com n=\tfrac{3}{2}, temos n+1=\tfrac{5}{2}, então
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
Para x^{-1/2}, com n=-\tfrac{1}{2}, temos n+1=\tfrac{1}{2}, então
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Como havia um sinal negativo no integrando, juntando os resultados:
\int\bigl(x^{3/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx=\frac{2}{5}x^{5/2}-2x^{1/2}+C.

Passo 5

Opcional: podemos factorar \,x^{1/2} se quiseres uma forma diferente:
\frac{2}{5}x^{5/2}-2x^{1/2}=2x^{1/2}\!\left(\frac{1}{5}x^{2}-1\right)=\frac{2}{5}x^{1/2}(x^{2}-5).
Qualquer uma das formas acima é válida como primitiva.

Resposta

\dfrac{2}{5}x^{5/2}-2x^{1/2}+C

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