Calcule as integrais indefinidas:
\int \sqrt{x}(1-x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo e dar a primitiva (ou família de primitivas):
\int \sqrt{x}\,(1-x)^{2}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é \sqrt{x}\,(1-x)^{2}.
  • Quer-se uma antiderivada (primitiva) em termos de x.
  • Não há restrição extra de domínio no enunciado.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação e motivo): é conveniente eliminar a raiz quadrada fazendo a substituição x=t^{2}. Isso transforma \sqrt{x} em t e facilita a integração porque teremos potências inteiras de t. Não é obrigatório fazer assim (poderia expandir em potências fracionárias), mas essa substituição deixa tudo em potências inteiras, o que é mais simples e seguro para resolver à mão.
Fazendo a substituição:
x = t^{2}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=t,\qquad dx = 2t\,dt.

Passo 3

Transformar a integral original usando a substituição x=t^{2}. Substituindo \sqrt{x}=t e dx=2t\,dt na integral:
\int \sqrt{x}\,(1-x)^{2}\,dx = \int t\,(1-t^{2})^{2}\cdot 2t\,dt.
Agrupando fatores:
\int t\,(1-t^{2})^{2}\cdot 2t\,dt = \int 2t^{2}(1-t^{2})^{2}\,dt.

Passo 4

Expandir o quadrado e simplificar a integranda para poder aplicar a regra de potência. Primeiro:
(1-t^{2})^{2}=1-2t^{2}+t^{4}.
Então
2t^{2}(1-t^{2})^{2}=2t^{2}\bigl(1-2t^{2}+t^{4}\bigr)=2t^{2}-4t^{4}+2t^{6}.
A integral fica
\int \bigl(2t^{2}-4t^{4}+2t^{6}\bigr)\,dt.

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra de potência \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (válida para n\neq -1). Aplicando:
\int 2t^{2}\,dt = 2\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{2}{3}t^{3},
\int -4t^{4}\,dt = -4\cdot\frac{t^{5}}{5}=-\frac{4}{5}t^{5},
\int 2t^{6}\,dt = 2\cdot\frac{t^{7}}{7}=\frac{2}{7}t^{7}.
Somando e incluindo a constante de integração C:
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{4}{5}t^{5}+\frac{2}{7}t^{7}+C.

Passo 6

Voltar à variável x fazendo t=\sqrt{x}=x^{1/2}. Substituindo t^{3}=x^{3/2}, t^{5}=x^{5/2} e t^{7}=x^{7/2}, obtemos a primitiva em x:
\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{4}{5}x^{5/2}+\frac{2}{7}x^{7/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derivando termo a termo
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2},
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{4}{5}x^{5/2}\right)=-\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}=-2x^{3/2},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{7}x^{7/2}\right)=\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}x^{5/2}=x^{5/2}.
Somando:
x^{1/2}-2x^{3/2}+x^{5/2}=x^{1/2}(1-2x+x^{2})=\sqrt{x}\,(1-x)^{2},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{4}{5}x^{5/2}+\frac{2}{7}x^{7/2}+C

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