Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo e dar a primitiva (ou família de primitivas):
Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é
. - Quer-se uma antiderivada (primitiva) em termos de
. - Não há restrição extra de domínio no enunciado.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação e motivo): é conveniente eliminar a raiz quadrada fazendo a substituição
. Isso transforma
em
e facilita a integração porque teremos potências inteiras de
. Não é obrigatório fazer assim (poderia expandir em potências fracionárias), mas essa substituição deixa tudo em potências inteiras, o que é mais simples e seguro para resolver à mão.
Fazendo a substituição:
Passo 3
Transformar a integral original usando a substituição
. Substituindo
e
na integral:
Agrupando fatores:
Passo 4
Expandir o quadrado e simplificar a integranda para poder aplicar a regra de potência. Primeiro:
Então
A integral fica
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra de potência
(válida para
). Aplicando:
Somando e incluindo a constante de integração
:
Passo 6
Voltar à variável
fazendo
. Substituindo
,
e
, obtemos a primitiva em
:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derivando termo a termo
Somando:
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.