Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(1-2 x^{2}+3 x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. As informações relevantes são:
  • A integral a ser calculada é \int\left(1-2 x^{2}+3 x^{3}\right) d x.
  • Trata-se de uma integral indefinida, ou seja, deve aparecer uma constante de integração C na resposta.
    Não vou resolver nada ainda; apenas registrei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vou lembrar as regras básicas que vamos usar (cada fórmula vem acompanhada do significado das variáveis):
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções f,g,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isso significa que podemos integrar termo a termo.
  • Regra do polinômio (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde n é o expoente e C é a constante de integração.
  • Integral de constante: para constante a,
\int a\,dx = a x + C.
Exemplo rápido para fixar: usando a regra da potência, \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 3

Aplicando linearidade, separo a integral em três integrais mais simples:
\int\left(1-2 x^{2}+3 x^{3}\right) d x = \int 1\,dx \;-\; 2\int x^{2}\,dx \;+\; 3\int x^{3}\,dx.
Agora calculo cada uma delas usando as fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Calculo \int 1\,dx. Aqui 1 é uma constante, então
\int 1\,dx = x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (no final vamos juntar todas as constantes numa só).

Passo 5

Calculo -2\int x^{2}\,dx. Extraio o fator constante -2 e uso a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C_2.
Multiplicando pelo -2,
-2\int x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 6

Calculo 3\int x^{3}\,dx. Extraio o fator 3 e uso a regra da potência com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C_3.
Multiplicando pelo 3,
3\int x^{3}\,dx = 3\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{3}{4}x^{4}.

Passo 7

Agora somo os resultados dos passos anteriores e consolido as constantes de integração C_1,C_2,C_3 numa única constante C:
\int\left(1-2 x^{2}+3 x^{3}\right) d x = x - \frac{2}{3}x^{3} + \frac{3}{4}x^{4} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}+x+C

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