Use a substituição t=tan (x2) para resolver as integrais indefinidas:
integral d x1+sin (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx1+sin(x)
usando a substituição de Weierstrass
t = tan!l(x2r)
Com essa mudança, oferecemos uma estratégia geral para transformar funções trigonométricas em funções racionais de t, facilitando a integração.

Passo 2

Vamos escrever sin(x) e dx em função de t. As fórmulas padrão são
sin(x) = 2t1+t^2, dx = 2,dt1+t^2

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral dx1+sin(x) = integral 2,dt1+t^21 + 2t1+t^2 = integral 2,dt(1+t^2),l(1+t^2+2t1+t^2r) = integral 2,dt,t^2 + 2t + 1,
Note que t^2+2t+1=(t+1)^2.

Passo 4

A integral torna-se
integral 2,dt(t+1)^2 =2integral (t+1)^-2dt =-2t+1+C

Passo 5

Bast a retornar a variável original x usando t=tan!l(tfracx2r):
-2t+1+C = -21+tan!l(x2r)+C

Resposta

boxed integral dx1+sin(x) =-21+tan!l(tfracx2r)+C

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