Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{3} x \tan ^{3} x d x
\int \operatorname{sec} ^{3} x \tan ^{3} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas e a técnica de substituição. Vamos precisar reescrever a integral de modo a identificar claramente uma parte cuja derivada apareça no integrando.
Passo 2
Observamos que podemos agrupar fatores de modo a extrair um diferencial simples. Note que
Além disso, usamos a identidade
Então a integral vira
Passo 3
Fazemos a substituição
Com isso, o fator
do integrando torna-se
.
Passo 4
Substituindo em termos de
:
Logo a integral passa a ser
Passo 5
Voltando a variável original
(isto é,
), obtemos