Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{3} x \tan ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec^3x,tan^3x ,dx
O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas e a técnica de substituição. Vamos precisar reescrever a integral de modo a identificar claramente uma parte cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Observamos que podemos agrupar fatores de modo a extrair um diferencial simples. Note que
sec^3x,tan^3x =sec^2x,tan^2x;cdot;sec x,tan x
Além disso, usamos a identidade
tan^2x = sec^2x - 1
Então a integral vira
integral sec^3x,tan^3x ,dx = integral l[sec^2x,( sec^2x - 1)r];l[sec x,tan x,dxr]

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sec x, du = sec x,tan x,dx
Com isso, o fator sec x,tan x,dx do integrando torna-se du.

Passo 4

Substituindo em termos de u:
sec^2x = u^2, sec^2x - 1 = u^2-1, sec x,tan x,dx = du
Logo a integral passa a ser
integral u^2(u^2-1),du = integral l(u^4-u^2r),du = u^55 - u^33 + C

Passo 5

Voltando a variável original x (isto é, u=sec x), obtemos
sec^5x5 - sec^3x3 + C

Resposta

sec^5x5 - sec^3x3 + C

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