Calcule as integrais indefinidas:
\int(3 \operatorname{sec} x)^{2} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(3\operatorname{sec} x\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas básicas, em particular vamos usar que \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x e a propriedade de fator constante em integrais.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando:
\bigl(3\operatorname{sec} x\bigr)^{2}=3^{2}\operatorname{sec}^{2}x=9\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto a integral fica
\int\bigl(3\operatorname{sec} x\bigr)^{2}\,dx=\int 9\operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Como 9 é constante, podemos colocá-la fora do sinal de integral:
\int 9\operatorname{sec}^{2}x\,dx =9\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x + C.

Passo 4

Multiplicando pelo fator 9, obtemos
9\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=9\tan x + C.

Resposta

\int\bigl(3\operatorname{sec} x\bigr)^{2}\,dx=9\tan x + C.

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