Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{2} x \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec^2xtan x,dx.
Aqui vamos usar técnica de substituição e também reconhecimento de derivada de funções trigonométricas (sabendo que ddxtan x=sec^2 x e ddxsec^2 x=2sec^2 xtan x).

Passo 2

Fazendo a substituição
u = tan x, du = sec^2 x,dx,
temos
integral sec^2 xtan x,dx = integral u,du = u^22 + C = tan^2 x2 + C

Passo 3

Alternativamente, note que
ddxl(sec^2 xr) = 2,sec^2 x,tan x,
ou seja, sec^2 xtan x é metade da derivada de sec^2 x. Logo,
integral sec^2 xtan x,dx = 12,sec^2 x + C

Resposta

12,sec^2 x + C

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