Calcule as integrais indefinidas:
\int \sin ^{4} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral sin^4x ,cos^2x,dx
O conteúdo principal é usar identidades trigonométricas de redução de potência para transformar o integrando em soma de cossenos com argumentos múltiplos de x e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro reescrevemos
sin^4x,cos^2x = (sin^2x)^2,cos^2x = l(tfrac1-cos2x2r)^2,l(tfrac1+cos2x2r)
Expandindo o produto e fatorando 1/8, obtemos
sin^4x,cos^2x = tfrac18l(1 - cos2x - cos^22x + cos^32xr)

Passo 3

Agora aplicamos as reduções
cos^22x = tfrac1+cos4x2, cos^32x = cos^22xcos2x = tfrac34cos2x + tfrac14cos6x,
e reunimos em soma de cossenos:
sin^4x,cos^2x = 116 - 132cos2x - 116cos4x + 132cos6x

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
integral sin^4x,cos^2x,dx = integral l(tfrac116 - tfrac132cos2x - tfrac116cos4x + tfrac132cos6xr)dx
= x16 - 132cdotsin2x2 - 116cdotsin4x4 + 132cdotsin6x6 + C
= x16 - sin2x64 - sin4x64 + sin6x192 + C

Resposta

integral sin^4x ,cos^2x,dx = x16 - sin2x64 - sin4x64 + sin6x192 + C

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