• Exemplo 10.23: Determinar os extremos de f(x, y, z)=x y quando restrita a reta de interseção dos planos x+y+z-1=0 e x+y-z=0.

Solução:

Seja F(x, y, z)=x y+lambda1 cdot(x+y+z-1)+lambda2 cdot(x+y-z) Temos então

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos de f(x,y,z)=xy quando (x,y,z) varia sobre a reta de interseção dos planos
x+y+z-1=0
e
x+y-z=0
Isso é um problema de otimização com duas restrições, que podemos atacar via multiplicadores de Lagrange e depois confirmar a natureza do extremo parametrizando a reta.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana com dois multiplicadores lambda1,lambda2:
L(x,y,z,lambda1,lambda2) =xy+lambda1(x+y+z-1)+lambda2(x+y-z)
As condições de estação são
partialLpartial x=y+lambda1+lambda2=0,
partialLpartial y=x+lambda1+lambda2=0,
partialLpartial z=lambda1-lambda2=0,
além das duas equações dos planos.

Passo 3

Da terceira equação obtemos
Substituindo nas restrições
somando dá , depois e . Esse é o único ponto crítico.

Passo 4

Para verificar se é máximo ou mínimo, parametrizamos a reta de interseção. Das duas equações dos planos tiramos
z=tfrac12, x+y=tfrac12
Tomamos o parâmetro tmapsto (x,y,z)=(t,tfrac12-t,tfrac12). Em função de t,
f(t)=x,y =tl(tfrac12-tr) =tfrac12,t - t^2

Passo 5

Calculamos
f'(t)=tfrac12-2t,
zera em t=tfrac14. Nesse ponto
fl(tfrac14r) =tfrac14l(tfrac12-tfrac14r) =tfrac116,
e
f''(t)=-2<0,
logo é um máximo local (na verdade global, pois para lvert trverttoinfty temos f(t)to -infty, não havendo mínimo).

Resposta

O valor máximo de f na reta é tfrac116, atingido em l(tfrac14,tfrac14,tfrac12r). Não existe valor mínimo porque f é ilimitada para ,ttopminfty.

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