Exemplo 10.23: Determinar os extremos de quando restrita a reta de interseção dos planos e .
Solução:
Seja Temos então
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos de quando varia sobre a reta de interseção dos planos
e
Isso é um problema de otimização com duas restrições, que podemos atacar via multiplicadores de Lagrange e depois confirmar a natureza do extremo parametrizando a reta.
Passo 2
Formamos a Lagrangiana com dois multiplicadores :
As condições de estação são
além das duas equações dos planos.
Passo 3
Da terceira equação obtemos
Substituindo nas restrições
somando dá , depois e . Esse é o único ponto crítico.
Passo 4
Para verificar se é máximo ou mínimo, parametrizamos a reta de interseção. Das duas equações dos planos tiramos
z=tfrac12, x+y=tfrac12
Tomamos o parâmetro tmapsto (x,y,z)=(t,tfrac12-t,tfrac12). Em função de t,