Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} x \tan ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec x ,tan^2x ,dx
O conteúdo é integração de funções trigonométricas. Vamos usar uma identidade para reescrever o integrando e depois calcular duas integrais conhecidas.

Passo 2

Usamos a identidade
tan^2x = sec^2x - 1
Logo
integral sec x ,tan^2x ,dx = integral sec x,(sec^2x - 1),dx = integral sec^3x ,dx ;-;integral sec x ,dx

Passo 3

Separemos
I = integral sec^3x ,dx e J = integral sec x ,dx
Nossa integral original é I - J.

Passo 4

A integral
J = integral sec x ,dx
é clássica e dá
J = lnl|sec x + tan xr| + C1

Passo 5

Para
I = integral sec^3x ,dx
fazemos integração por partes. Escolhemos
u = sec x, dv = sec^2x,dx,
então
du = sec x,tan x,dx, v = tan x
Por partes:
I = sec x,tan x ;-;integral tan x;(sec x,tan x),dx = sec x,tan x ;-;integral sec x,tan^2x,dx
Mas integral sec x,tan^2x,dx é nossa integral original. Chamando-a de K, temos
I = sec x,tan x - K
Como K = I - J, obtemos
I = sec x,tan x - (I - J) ;Longrightarrow; 2I = sec x,tan x + J ;Longrightarrow; I = tfrac12,sec x,tan x + tfrac12,J
Substituindo J:
I = 12,sec x,tan x + 12,lnl|sec x + tan xr| + C2

Passo 6

Voltando à integral original,
integral sec x,tan^2x,dx = I - J = l(tfrac12,sec x,tan x + tfrac12,lnlvertsec x + tan xrvertr) - lnlvertsec x + tan xrvert + C
Simplificando logs,
integral sec x,tan^2x,dx = 12,sec x,tan x ;-;12,lnl|sec x + tan xr| + C

Resposta

boxedintegral sec x,tan^2x,dx = 12,sec x,tan x ;-;12,lnl|sec x + tan xr| + C

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