Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} x \tan ^{2} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo é integração de funções trigonométricas. Vamos usar uma identidade para reescrever o integrando e depois calcular duas integrais conhecidas.
Passo 2
Usamos a identidade
Logo
Passo 3
Separemos
Nossa integral original é .
Passo 4
A integral
é clássica e dá
Passo 5
Para
I = integral sec^3x ,dx
fazemos integração por partes. Escolhemos
u = sec x, dv = sec^2x,dx,
então
du = sec x,tan x,dx, v = tan x
Por partes:
I = sec x,tan x ;-;integral tan x;(sec x,tan x),dx = sec x,tan x ;-;integral sec x,tan^2x,dx
Mas integral sec x,tan^2x,dx é nossa integral original. Chamando-a de K, temos
I = sec x,tan x - K
Como K = I - J, obtemos
I = sec x,tan x - (I - J) ;Longrightarrow; 2I = sec x,tan x + J ;Longrightarrow; I = tfrac12,sec x,tan x + tfrac12,J
Substituindo J:
I = 12,sec x,tan x + 12,lnl|sec x + tan xr| + C2
Passo 6
Voltando à integral original,
integral sec x,tan^2x,dx = I - J = l(tfrac12,sec x,tan x + tfrac12,lnlvertsec x + tan xrvertr) - lnlvertsec x + tan xrvert + C
Simplificando logs,
integral sec x,tan^2x,dx = 12,sec x,tan x ;-;12,lnl|sec x + tan xr| + C
Resposta
boxedintegral sec x,tan^2x,dx = 12,sec x,tan x ;-;12,lnl|sec x + tan xr| + C