Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{3} x \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec^3x ,tan x ,dx
O conteúdo é substituição simples, explorando que a derivada de sec x é sec xtan x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sec x

Passo 3

Diferenciando, temos
du = sec x,tan x,dx
ou seja, sec x,tan x,dx = du.

Passo 4

Reescrevendo o integrando em função de u:
sec^3x,tan x,dx = (sec x)^2l(sec x,tan x,dxr) = u^2,du

Passo 5

Integramos
integral u^2,du = u^33 + C

Passo 6

Voltando à variável x, como u=sec x, obtemos
u^33 + C = sec^3x3 + C

Resposta

integral sec^3x,tan x,dx = sec^3x3 + C

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