1. a) Determine os pontos X0=(x0, y0) do círculo x^2+y^2=1 nos quais a função f(x, y)= x^2-y^2-y assume um valor máximo;
    b) Determine as direções nas quais a função f, no ponto X0, aumenta mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=x^2-y^2-y
restrita ao círculo x^2+y^2=1:
a) os pontos ,X0=(x0,y0) em que f atinge o valor máximo;
b) em cada um desses pontos, a direção em que f cresce mais rapidamente.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange e cálculo de gradiente para direções de maior crescimento.

Passo 2

Montamos o Lagrangeano com g(x,y)=x^2+y^2-1=0:
L(x,y,lambda)=x^2-y^2-y-lambda,(x^2+y^2-1)
As condições de estacionaridade são
partialLpartial x=2x-2lambda x=0, partialLpartial y=-2y-1-2lambda y=0, x^2+y^2=1

Passo 3

Da primeira equação 2x(1-lambda)=0 surgem dois casos:
Caso 1: xneq0. Então lambda=1. Substituindo na segunda,
-2y-1-2(1)y=0Longrightarrow-4y-1=0 Longrightarrow y=-tfrac14
Pela restrição x^2=1-y^2=1-tfrac116=tfrac1516, vem
x=pmraiz154
Isso gera os candidatos
X0^(pm)=l(pmraiz154,-14r)
Caso 2: x=0. Então y^2=1, ou seja y=pm1. Esses pontos dão
,f(0,1)=-2 e f(0,-1)=0, valores menores que os que encontraremos em X0^(pm).

Passo 4

Calculamos f em X0^(pm):
fl(pmraiz154,-14r) =1516-116+14 =1416+416 =1816 =98
Como tfrac98 é maior que -2 e 0, esses pontos são onde f atinge o máximo sobre o círculo.

Passo 5

Para achar a direção de maior crescimento em cada X0, usamos o gradiente
nabla f(x,y)=l(2x,,-2y-1r)
Em X0^(+)=(tfracraiz154,-tfrac14) temos
nabla fl(X0^(+)r) =l(2cdotraiz154,,-2l(-tfrac14r)-1r) =l(raiz152,,tfrac12-1r) =l(raiz152,,-12r)
Em X0^(-)=(-tfracraiz154,-tfrac14) vem
nabla fl(X0^(-)r) =l(-raiz152,,-12r)

Passo 6

A direção de máxima subida é o próprio vetor gradiente. Se quisermos o vetor unitário, basta normalizar:
l|nabla f(X0^(pm))r| =raizl(raiz152r)^2+l(-12r)^2 =raiz154+14 =raiz4=2
Logo o versor direção é
12nabla fl(X0^(+)r) =l(raiz154,-14r), 12nabla fl(X0^(-)r) =l(-raiz154,-14r)

Resposta

a) Os pontos de máximo são
X0^(+)=l(raiz154,-14r), X0^(-)=l(-raiz154,-14r)
b) Em cada um, a direção de maior crescimento é dada pelo gradiente. Os versores correspondentes são
12nabla fl(X0^(+)r) =l(raiz154,-14r), 12nabla fl(X0^(-)r) =l(-raiz154,-14r)

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