- a) Determine os pontos
do círculo
nos quais a função
assume um valor máximo;
b) Determine as direções nas quais a função
, no ponto
, aumenta mais rapidamente.
b) Determine as direções nas quais a função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
restrita ao círculo
:
a) os pontos em que
atinge o valor máximo;
b) em cada um desses pontos, a direção em que cresce mais rapidamente.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange e cálculo de gradiente para direções de maior crescimento.
a) os pontos
b) em cada um desses pontos, a direção em que
O conteúdo envolvido é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange e cálculo de gradiente para direções de maior crescimento.
Passo 2
Montamos o Lagrangeano com
:
As condições de estacionaridade são
Passo 3
Da primeira equação
surgem dois casos:
Caso 1:
. Então
. Substituindo na segunda,
Pela restrição
, vem
Isso gera os candidatos
Caso 2:
. Então
, ou seja
. Esses pontos dão
e
, valores menores que os que encontraremos em
.
Passo 4
Calculamos
em
:
Como
é maior que
e
, esses pontos são onde
atinge o máximo sobre o círculo.
Passo 5
Para achar a direção de maior crescimento em cada
, usamos o gradiente
Em
temos
Em
vem
Passo 6
A direção de máxima subida é o próprio vetor gradiente. Se quisermos o vetor unitário, basta normalizar:
Logo o versor direção é
Resposta
a) Os pontos de máximo são
b) Em cada um, a direção de maior crescimento é dada pelo gradiente. Os versores correspondentes são