Calcule as integrais indefinidas:
com
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (vou interpretar uma ambiguidade presente).
- O enunciado pede a integral indefinida
com . - Há uma ambiguidade na escrita “
”. Vou interpretar isso como (forma habitual). Se na verdade fosse , o argumento mudaria de sinal e o método seria idêntico trocando por . - Variáveis e constantes:
é a variável de integração e é constante real. - Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) explícita em termos de
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fazer uma substituição simples para eliminar o argumento linear da função seno.
- Defina a nova variável
. - Diferenciando,
, portanto . - Substituindo na integral original obtemos
Agora a tarefa reduziu-se a calcular
.
Passo 3
Como integrar
? Usamos a técnica de separar um fator
e trocar por cosseno via substituição.
- Escreva
. (Aqui usei a identidade .) - Expanda o quadrado:
- Assim
- Agora faça a substituição
. Então ou . Isso transforma a integral em integral de polinômio em .
Passo 4
Calcule a integral em
.
- Substituindo, temos
- Integre termo a termo:
onde
é constante de integração.
- Volte para
usando :
Passo 5
Retorne à variável
e aplique o fator vindo da substituição inicial.
- Lembremos que a integral original é
. Substituindo o resultado do passo anterior:
- Simplifique os sinais e coeficientes (e substitua
):
- Portanto
Passo 6
Comentário final e checagem rápida (didática e motivacional).
- A ideia principal foi: transformar a potência ímpar de seno em fator
vezes função de , trocar para e integrar um polinômio. Esse é o truque padrão para potências ímpares de seno ou cosseno. - Você consegue aplicar o mesmo procedimento para integrar
quando é ímpar: separar um e usar como substituição. - Fica a dica: pratique com
, e para pegar o ritmo — e parabéns por encarar isso com calma!