Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{5}(k--3 x) d x com k \in \Re

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (vou interpretar uma ambiguidade presente).
  • O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen}^{5}(k--3 x)\,d x com k\in\mathbb{R}.
  • Há uma ambiguidade na escrita “ k--3 x”. Vou interpretar isso como k-3x (forma habitual). Se na verdade fosse k+3x, o argumento mudaria de sinal e o método seria idêntico trocando -3 por +3.
  • Variáveis e constantes: x é a variável de integração e k é constante real.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) explícita em termos de x.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fazer uma substituição simples para eliminar o argumento linear da função seno.
  • Defina a nova variável \displaystyle u = k-3x.
  • Diferenciando, \displaystyle du = -3\,dx, portanto \displaystyle dx = -\dfrac{1}{3}\,du.
  • Substituindo na integral original obtemos
\int \sin^{5}(k-3x)\,dx = \int \sin^{5}(u)\left(-\dfrac{1}{3}\,du\right) = -\dfrac{1}{3}\int \sin^{5}(u)\,du.
Agora a tarefa reduziu-se a calcular \displaystyle \int \sin^{5}(u)\,du.

Passo 3

Como integrar \displaystyle \sin^{5}(u)? Usamos a técnica de separar um fator \sin u e trocar por cosseno via substituição.
  • Escreva \displaystyle \sin^{5}(u)=\sin^{4}(u)\sin(u)=(1-\cos^{2}u)^{2}\sin(u). (Aqui usei a identidade \sin^{2}u=1-\cos^{2}u.)
  • Expanda o quadrado:
(1-\cos^{2}u)^{2}=1-2\cos^{2}u+\cos^{4}u.
  • Assim
\sin^{5}(u)=\bigl(1-2\cos^{2}u+\cos^{4}u\bigr)\sin(u).
  • Agora faça a substituição t=\cos u. Então dt=-\sin u\,du ou \sin u\,du=-dt. Isso transforma a integral em integral de polinômio em t.

Passo 4

Calcule a integral em t.
  • Substituindo, temos
\int \sin^{5}(u)\,du = \int \bigl(1-2t^{2}+t^{4}\bigr)(-dt) = -\int \bigl(1-2t^{2}+t^{4}\bigr)\,dt.
  • Integre termo a termo:
-\int \bigl(1-2t^{2}+t^{4}\bigr)\,dt = -\Bigl(t - \dfrac{2}{3}t^{3} + \dfrac{1}{5}t^{5}\Bigr) + C,
onde C é constante de integração.
  • Volte para u usando t=\cos u:
\int \sin^{5}(u)\,du = -\cos u + \dfrac{2}{3}\cos^{3}u - \dfrac{1}{5}\cos^{5}u + C.

Passo 5

Retorne à variável x e aplique o fator vindo da substituição inicial.
  • Lembremos que a integral original é -\dfrac{1}{3}\int \sin^{5}(u)\,du. Substituindo o resultado do passo anterior:
\int \sin^{5}(k-3x)\,dx = -\dfrac{1}{3}\Bigl(-\cos u + \dfrac{2}{3}\cos^{3}u - \dfrac{1}{5}\cos^{5}u\Bigr) + C.
  • Simplifique os sinais e coeficientes (e substitua u=k-3x):
-\dfrac{1}{3}\bigl(-\cos u\bigr)=\dfrac{1}{3}\cos u,\qquad -\dfrac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cos^{3}u=-\dfrac{2}{9}\cos^{3}u, \qquad -\dfrac{1}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\cos^{5}u\bigr)=\dfrac{1}{15}\cos^{5}u.
  • Portanto
\int \sin^{5}(k-3x)\,dx = \dfrac{1}{3}\cos(k-3x) - \dfrac{2}{9}\cos^{3}(k-3x) + \dfrac{1}{15}\cos^{5}(k-3x) + C.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida (didática e motivacional).
  • A ideia principal foi: transformar a potência ímpar de seno em fator \sin u vezes função de \cos u, trocar para t=\cos u e integrar um polinômio. Esse é o truque padrão para potências ímpares de seno ou cosseno.
  • Você consegue aplicar o mesmo procedimento para integrar \sin^{n}(ax+b) quando n é ímpar: separar um \sin e usar \cos como substituição.
  • Fica a dica: pratique com \sin^{3}, \sin^{5} e \sin^{7} para pegar o ritmo — e parabéns por encarar isso com calma!

Resposta

\dfrac{1}{3}\cos(k-3x) - \dfrac{2}{9}\cos^{3}(k-3x) + \dfrac{1}{15}\cos^{5}(k-3x) + C

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