Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{tg}^{6} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}^{6} x \, dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{tg}^{6} x (ou seja, \tan^{6}x).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) desta função, ou seja, expressar a integral em termos de x e de funções elementares mais simples, mais a constante de integração C.

Passo 2

Ideia geral (explicada passo a passo): quando aparece uma potência par de \tan, uma técnica muito prática é usar a identidade
\operatorname{tg}^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1,
porque a derivada de \operatorname{tg}x é \operatorname{sec}^{2}x. Assim conseguiremos reduzir a integral usando a substituição u=\operatorname{tg}x quando aparecer um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx. Vou aplicar essa ideia escrevendo \operatorname{tg}^{6}x como \operatorname{tg}^{4}x\cdot\operatorname{tg}^{2}x e usar a identidade acima para separar termos que permitem a substituição.
Nota rápida sobre símbolos (para ficar claro): \operatorname{tg}x é \tan x e \operatorname{sec} x = 1/\cos x. A diferencial dx indica que integramos em relação a x.

Passo 3

Usando \operatorname{tg}^{6}x = \operatorname{tg}^{4}x\cdot\operatorname{tg}^{2}x e \operatorname{tg}^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, escrevo a integral como
\int \operatorname{tg}^{6}x\,dx = \int \operatorname{tg}^{4}x\bigl(\operatorname{sec}^{2}x-1\bigr)\,dx.
Agora distribuo:
\int \operatorname{tg}^{6}x\,dx = \int \operatorname{tg}^{4}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx \;-\; \int \operatorname{tg}^{4}x\,dx.
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \operatorname{tg}^{4}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Faço a substituição natural u=\operatorname{tg}x. Então du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Assim a integral fica
\int \operatorname{tg}^{4}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\operatorname{tg}^{5}x}{5} + C.
Aqui a ideia foi usar que quando aparece \operatorname{sec}^{2}x\,dx junto com potências de \tan x, a troca u=\tan x transforma tudo numa integral de polinômio em u.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \operatorname{tg}^{4}x\,dx.
Primeiro expresso \operatorname{tg}^{4}x em função de \operatorname{sec}:
\operatorname{tg}^{4}x = \bigl(\operatorname{tg}^{2}x\bigr)^{2} = \bigl(\operatorname{sec}^{2}x-1\bigr)^{2} = \operatorname{sec}^{4}x - 2\operatorname{sec}^{2}x + 1.
Portanto
\int \operatorname{tg}^{4}x\,dx = \int \bigl(\operatorname{sec}^{4}x - 2\operatorname{sec}^{2}x + 1\bigr)\,dx.
Vou integrar termo a termo: preciso de \int \operatorname{sec}^{4}x\,dx, \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx e \int 1\,dx.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{4}x\,dx.
Reescrevo \operatorname{sec}^{4}x como \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x e uso \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x:
\operatorname{sec}^{4}x = \operatorname{sec}^{2}x\bigl(1+\tan^{2}x\bigr).
Então
\int \operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx + \int \operatorname{sec}^{2}x\,\tan^{2}x\,dx.
Na segunda integral faço a substituição u=\tan x (novamente du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx), o que dá
\int \operatorname{sec}^{2}x\,\tan^{2}x\,dx = \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} = \frac{\tan^{3}x}{3}.
A primeira integral é direta:
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.
Logo
\int \operatorname{sec}^{4}x\,dx = \tan x + \frac{\tan^{3}x}{3} + C.

Passo 7

Volto para \displaystyle \int \operatorname{tg}^{4}x\,dx. Substituindo o resultado de \int \operatorname{sec}^{4}x e integrando os outros termos:
\int \operatorname{tg}^{4}x\,dx = \Bigl(\tan x + \frac{\tan^{3}x}{3}\Bigr) - 2\bigl(\tan x\bigr) + x + C.
Organizando:
\int \operatorname{tg}^{4}x\,dx = \frac{\tan^{3}x}{3} - \tan x + x + C.

Passo 8

Agora junto os resultados das duas integrais que separei no Passo 3:
\int \operatorname{tg}^{6}x\,dx = \underbrace{\frac{\tan^{5}x}{5}}_{\text{Passo 4}} \;-\; \underbrace{\Bigl(\frac{\tan^{3}x}{3} - \tan x + x\Bigr)}_{\text{Passo 7}} + C.
Portanto
\int \operatorname{tg}^{6}x\,dx = \frac{\tan^{5}x}{5} - \frac{\tan^{3}x}{3} + \tan x - x + C.

Resposta

\frac{\tan^{5}x}{5} - \frac{\tan^{3}x}{3} + \tan x - x + C

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