Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
(ou seja, ). - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) desta função, ou seja, expressar a integral em termos de
e de funções elementares mais simples, mais a constante de integração .
Passo 2
Ideia geral (explicada passo a passo): quando aparece uma potência par de
, uma técnica muito prática é usar a identidade
porque a derivada de
é
. Assim conseguiremos reduzir a integral usando a substituição
quando aparecer um fator
. Vou aplicar essa ideia escrevendo
como
e usar a identidade acima para separar termos que permitem a substituição.
Nota rápida sobre símbolos (para ficar claro):
é
e
. A diferencial
indica que integramos em relação a
.
Passo 3
Usando
e
, escrevo a integral como
Agora distribuo:
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Calcular
.
Faço a substituição natural
. Então
. Assim a integral fica
Aqui a ideia foi usar que quando aparece
junto com potências de
, a troca
transforma tudo numa integral de polinômio em
.
Passo 5
Calcular
.
Primeiro expresso
em função de
:
Portanto
Vou integrar termo a termo: preciso de
,
e
.
Passo 6
Calcular
.
Reescrevo
como
e uso
:
Então
Na segunda integral faço a substituição
(novamente
), o que dá
A primeira integral é direta:
Logo
Passo 7
Volto para
. Substituindo o resultado de
e integrando os outros termos:
Organizando:
Passo 8
Agora junto os resultados das duas integrais que separei no Passo 3:
Portanto