Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é o quadrado da diferença de duas funções seno.
- Quer-se uma primitiva geral (ou seja, resposta com constante de integração
).
Passo 2
Estratégia: expandir o quadrado e integrar termo a termo. Para isso vamos usar identidades trigonométricas básicas que preciso explicar com calma:
- Identidade para o quadrado do seno (fórmula de ângulo duplo):
Explicação rápida: é consequência de
.
- Fórmula produto-para-soma para senos:
Logo
Essas identidades permitem transformar produtos e quadrados de senos em cossenos, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Expandindo o quadrado:
Agora substituo as identidades explicadas.
Passo 4
Aplicando
em cada termo quadrático:
E aplicando a fórmula produto-para-soma para o produto:
portanto
Passo 5
Somando os termos substituídos:
Agora a integral fica
Passo 6
Regra de integração que usarei e explico: para
,
Isto vem da derivada de
ser
, então ao integrar dividimos por
.
Vou integrar termo a termo, cuidando dos coeficientes constantes:
Passo 7
Somando todas as primitivas e acrescentando a constante de integração
: