Calcule as integrais indefinidas:
\int(\operatorname{sen} 3 x-\operatorname{sen} 2 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o quadrado da diferença de duas funções seno.
  • Quer-se uma primitiva geral (ou seja, resposta com constante de integração C).

Passo 2

Estratégia: expandir o quadrado e integrar termo a termo. Para isso vamos usar identidades trigonométricas básicas que preciso explicar com calma:
  • Identidade para o quadrado do seno (fórmula de ângulo duplo):
\operatorname{sen}^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Explicação rápida: é consequência de \cos(2t)=1-2\sin^{2}t.
  • Fórmula produto-para-soma para senos:
2\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b=\cos(a-b)-\cos(a+b).
Logo
\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}.
Essas identidades permitem transformar produtos e quadrados de senos em cossenos, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Expandindo o quadrado:
(\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}=\operatorname{sen}^{2}3x+\operatorname{sen}^{2}2x-2\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x.
Agora substituo as identidades explicadas.

Passo 4

Aplicando \operatorname{sen}^{2}t=\dfrac{1-\cos(2t)}{2} em cada termo quadrático:
\operatorname{sen}^{2}3x=\frac{1-\cos(6x)}{2},\qquad \operatorname{sen}^{2}2x=\frac{1-\cos(4x)}{2}.
E aplicando a fórmula produto-para-soma para o produto:
2\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x=\cos(3x-2x)-\cos(3x+2x)=\cos x-\cos5x,
portanto
-2\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x=-(\cos x-\cos5x)=-\cos x+\cos5x.

Passo 5

Somando os termos substituídos:
\begin{aligned} (\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2} &=\frac{1-\cos(6x)}{2}+\frac{1-\cos(4x)}{2}-\cos x+\cos5x\\[6pt] &=1-\frac{\cos(6x)+\cos(4x)}{2}-\cos x+\cos5x. \end{aligned}
Agora a integral fica
\int (\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}\,dx =\int\left(1-\frac{\cos6x}{2}-\frac{\cos4x}{2}-\cos x+\cos5x\right)dx.]

Passo 6

Regra de integração que usarei e explico: para a\neq0,
\int \cos(ax)\,dx=\frac{\sin(ax)}{a}.
Isto vem da derivada de \sin(ax) ser a\cos(ax), então ao integrar dividimos por a.
Vou integrar termo a termo, cuidando dos coeficientes constantes:
  • \displaystyle\int 1\,dx=x.
  • \displaystyle\int -\frac{\cos6x}{2}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin6x}{6}=-\frac{\sin6x}{12}.
  • \displaystyle\int -\frac{\cos4x}{2}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin4x}{4}=-\frac{\sin4x}{8}.
  • \displaystyle\int -\cos x\,dx=-\sin x.
  • \displaystyle\int \cos5x\,dx=\frac{\sin5x}{5}.

Passo 7

Somando todas as primitivas e acrescentando a constante de integração C:
\int (\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}\,dx = x -\frac{\sin6x}{12}-\frac{\sin4x}{8}-\sin x+\frac{\sin5x}{5}+C.

Resposta

x-\dfrac{\sin6x}{12}-\dfrac{\sin4x}{8}-\sin x+\dfrac{\sin5x}{5}+C

Exercícios relacionados