Calcule as integrais indefinidas:
\int \sin ^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{x}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^5!l(tfracx3r),cos!l(tfracx3r),dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (u-substitution), pois ao ver sin e cos com a mesma expressão x3, faz sentido usar uma mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sin!l(tfracx3r)
Então
du = 13,cos!l(tfracx3r),dx Longrightarrow cos!l(tfracx3r),dx = 3,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral sin^5!l(tfracx3r),cos!l(tfracx3r),dx = integral u^5,l(3,dur) = 3integral u^5,du

Passo 4

Integrando u^5, obtemos
3integral u^5,du = 3cdotu^66 + C = u^62 + C
Voltando à variável original, u = sin!l(tfracx3r), resulta

Resposta

12,sin^6!l(tfracx3r) + C

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