Calcule as integrais indefinidas:
\int \sin (\ln x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin(ln x),dx
O conteúdo da matéria envolve mudança de variável (substituição) seguida de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln x Longrightarrow dt = 1x,dx Longrightarrow dx = x,dt e x = e^t
Assim a integral vira
integral sin(ln x),dx = integral sin(t),e^t,dt

Passo 3

Chamemos
I = integral e^tsin t,dt
Usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, com
u = sin t, dv = e^t,dt Longrightarrow du = cos t,dt, v = e^t,
obtendo
I = e^tsin t - integral e^tcos t,dt
Chame agora
J = integral e^tcos t,dt
e aplique partes com
u = cos t, dv = e^t,dt Longrightarrow du = -sin t,dt, v = e^t,
para achar
J = e^tcos t + integral e^tsin t,dt = e^tcos t + I
Substituindo de volta em I:
I = e^tsin t - J = e^tsin t - (e^tcos t + I) = e^tsin t - e^tcos t - I
2I = e^tl(sin t - cos tr) Longrightarrow I = e^t2,l(sin t - cos tr)

Passo 4

Voltando à variável x, temos e^t = x e t = ln x. Portanto
integral sin(ln x),dx = I + C = x2l(sin(ln x)-cos(ln x)r) + C

Resposta

x2l(sin(ln x)-cos(ln x)r) + C

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