Calcule as integrais indefinidas:
\int \ln \left(x+x^{2}\right) d x
\int \ln \left(x+x^{2}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo envolvido é integração de logaritmos, para o qual usaremos propriedades de logaritmo (para simplificar o integrando) e, em seguida, integrações por partes em duas integrais mais simples.
Passo 2
Usamos a propriedade de logaritmo
Logo
Passo 3
Para calcular
aplicamos integração por partes escolhendo
e
.
Então
Então
e, pela fórmula
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos
Também usamos integração por partes com
e
.
Assim
Assim
logo
Para
fazemos divisão:
, daí
Substituindo de volta,
Agrupando termos similares,
Passo 5
Somando as duas partes, temos
Reagrupando,