Calcule as integrais indefinidas:
\int \ln \left(x+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral lnl(x + x^2r),dx
O conteúdo envolvido é integração de logaritmos, para o qual usaremos propriedades de logaritmo (para simplificar o integrando) e, em seguida, integrações por partes em duas integrais mais simples.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmo
lnl(x + x^2r) =lnl(x(1+x)r) =ln x + ln(1+x)
Logo
integral lnl(x + x^2r),dx =integral ln x,dx ;+;integral ln(1+x),dx

Passo 3

Para calcular
integral ln x,dx,
aplicamos integração por partes escolhendo
u = ln x e ,dv = dx.
Então
du = 1x,dx, v = x,
e, pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos
integral ln x,dx = xln x - integral xcdot1x,dx = xln x - integral 1,dx = xln x - x

Passo 4

Agora calculamos
integral ln(1+x),dx
Também usamos integração por partes com
u = ln(1+x) e dv = dx.
Assim
du = 11+x,dx, v = x,
logo
integral ln(1+x),dx = xln(1+x) - integral xcdot11+x,dx
Para integral x1+x,dx fazemos divisão:
x1+x = 1 - 11+x, daí
integral x1+x,dx = integral 1,dx - integral 11+x,dx = x - ln(1+x)
Substituindo de volta,
integral ln(1+x),dx = xln(1+x) - l(x - ln(1+x)r) = xln(1+x) - x + ln(1+x)
Agrupando termos similares,
integral ln(1+x),dx = (1+x)ln(1+x) - x

Passo 5

Somando as duas partes, temos
integral lnl(x + x^2r),dx = l(xln x - xr) + l((1+x)ln(1+x) - xr) + C
Reagrupando,
integral lnl(x + x^2r),dx = xln x + (1+x)ln(1+x) - 2x + C

Resposta

boxed integral lnl(x + x^2r),dx = xln x ;+;(1+x)ln(1+x);-;2x ;+;C

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