Calcule as integrais indefinidas:
\int x(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x(ln x)^2,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
duas vezes, primeiro para integral x(ln x)^2dx e depois para o integral que aparecerá.

Passo 2

Escolhemos em
integral x(ln x)^2dx
u = (ln x)^2 e dv = x,dx.
Então
du = 2ln xcdot1x,dx = 2ln xx,dx,
v = integral x,dx = x^22
Pela fórmula de partes,
integral x(ln x)^2dx = x^22(ln x)^2 - integral x^22,2ln xx,dx = x^22(ln x)^2 - integral xln x,dx

Passo 3

Agora calculamos integral xln x,dx por partes de novo, escolhendo
u = ln x e dv = x,dx.
Então
du = 1x,dx, v = x^22
Logo,
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - integral x2,dx = x^22ln x - x^24

Passo 4

Substituindo esse resultado em
integral x(ln x)^2dx, temos
integral x(ln x)^2dx = x^22(ln x)^2 - l(x^22ln x - x^24r) = x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24 + C

Resposta

boxedintegral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24 + C

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