Calcule as integrais indefinidas:
\int e^{\sqrt{3 x+9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral e^raiz3x+9,dx
Trata-se de uma integral indefinida de uma exponencial cuja base envolve raiz de uma função linear. Vamos usar substituição para reduzir ao caso de integrar t,e^t.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz3x+9,
de onde t^2 = 3x+9 e, isolando x,
x = t^2 - 93
Derivando ambos os lados em relação a t, obtemos
dx = 2t3,dt

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral e^raiz3x+9,dx = integral e^t;2t3,dt = 23integral t,e^t,dt

Passo 4

Para calcular integral t,e^t,dt aplicamos integração por partes escolhendo
u = t, dv = e^t,dt
du = dt, v = e^t
Logo,
integral t,e^t,dt = t,e^t - integral e^t,dt = (t-1),e^t + C
Portanto a integral torna-se
23,(t-1),e^t + C

Passo 5

Voltando à variável x (ou seja, t = raiz3x+9), a primitiva final é
23l(raiz3x+9-1r),e^raiz3x+9 + C

Resposta

integral e^raiz3x+9,dx = 23l(raiz3x+9-1r),e^raiz3x+9 + C

Exercícios relacionados