Calcule as integrais indefinidas:
\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^2x,cos^2x,dx
O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando identidades de redução de potência.

Passo 2

Vamos usar a identidade que relaciona produto de seno e cosseno com o seno do ângulo duplo. Como
sin(2x)=2sin xcos x
temos
sin^2x,cos^2x = 14,sin^2(2x)

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de redução de potência em sin^2(2x):
sin^2(2x)=1-cos(4x)2
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sin^2x,cos^2x = 14cdot1-cos(4x)2 = 18l(1-cos(4x)r)

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral sin^2x,cos^2x,dx = integral 18l(1-cos(4x)r),dx = 18integrall(1-cos(4x)r),dx
Calculemos
integrall(1-cos(4x)r),dx = integral 1,dx ;-;integral cos(4x),dx = x ;-;14sin(4x) + C1

Passo 5

Multiplicando por tfrac18 e absorvendo a constante, obtemos
integral sin^2x,cos^2x,dx = 18l(x-tfrac14sin(4x)r) + C = x8 ;-;sin(4x)32 + C

Resposta

boxedx8 ;-;sin(4x)32 + C

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