Calcule as integrais indefinidas:
\int \tan ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
integral tan^3 x ,dx
O conteúdo é integração de potência ímpar de tan x. Vamos usar a identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1
para reescrever a integral de forma a separar um fator sec^2 x, cujo diferencial é conhecido.

Passo 2

Reescrevendo o integrando:
integral tan^3 x ,dx = integral tan x ,tan^2 x ,dx = integral tan x,(sec^2 x - 1),dx

Passo 3

Agora separamos em duas integrais:
integral tan x,sec^2 x ,dx ;-; integral tan x ,dx

Passo 4

Para a primeira integral fazemos a substituição
u = tan x, du = sec^2 x,dx
Assim,
integral tan x,sec^2 x ,dx = integral u ,du = tfrac12 u^2 = tfrac12 tan^2 x

Passo 5

Para a segunda integral lembramos que
integral tan x ,dx = -lnl|cos xr|

Passo 6

Juntando os resultados:
integral tan^3 x ,dx = tfrac12 tan^2 x ;-; l(-lnlvertcos xrvertr) + C = tfrac12 tan^2 x + lnl|cos xr| + C

Resposta

12,tan^2 x + lnl|cos xr| + C

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