• Exemplo 10.17: Achar os extremos da função f: R^2 R definida por f(x, y)=x quando restrita à região limitada pela elipse 5 x^2-6 x y+5 y^2-32=0.
Solução: As derivadas parciais de f são fx(x, y)=1 e fy(x, y)=0. Portanto f não tem pontos críticos; o máximo e o mínimo ocorrem pois, na fronteira. Se seguíssemos o caminho indicado na seção anterior deveríamos parametrizar a elipse, ou tentar escrever y como função de x ou x como função de y, tarefas estas não muito simpáticas. Ao invés disso, vamos obter os extremos de f sujeitos a condição g(x, y)=5 x^2-6 x y+5 y^2-32=0

Passo 1

O enunciado pede os extremos da função
f(x,y)=x
restrita à elipse dada por
g(x,y)=5x^2-6xy+5y^2-32=0
O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos achar pontos em que ∇f é proporcional a ∇g, sujeitos à restrição g(x,y)=0.

Passo 2

Formulamos o sistema de Lagrange com multiplicador :
ou seja
acompanhado da condição

Passo 3

Escrevemos as equações:
1=lambda,(10x-6y),
0=lambda,(-6x+10y),
5x^2-6xy+5y^2=32

Passo 4

Da segunda equação, lambda(-6x+10y)=0. Se lambda=0 então a primeira daria 1=0, impossível. Logo
-6x+10y=0 Longrightarrow y=610x=35x

Passo 5

Substituindo y=tfrac35x na primeira equação:
1=lambdal(10x-6cdot35xr) =lambdal(10x-185xr) =lambda325x Longrightarrow lambda=532x

Passo 6

Aplicamos y=tfrac35x na restrição:
5x^2-6xl(tfrac35xr)+5l(tfrac35xr)^2=32 ;Longrightarrow; 165x^2=32 ;Longrightarrow; x^2=10 ;Longrightarrow; x=pmraiz10,
e então
y=35x=pm3raiz105

Passo 7

Os candidatos são
l(raiz10,tfrac3raiz105r) e l(-raiz10,-tfrac3raiz105r)
Como f(x,y)=x, em raiz10 dá máximo e em -raiz10 dá mínimo.

Resposta

O valor máximo de f na elipse é
fmax=raiz10 em l(raiz10,tfrac3raiz105r),
e o valor mínimo é
fmin=-raiz10 em l(-raiz10,-tfrac3raiz105r)

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