- Exemplo 10.17: Achar os extremos da função
definida por
quando restrita à região limitada pela elipse
.
Solução: As derivadas parciais de
são
e
. Portanto
não tem pontos críticos; o máximo e o mínimo ocorrem pois, na fronteira. Se seguíssemos o caminho indicado na seção anterior deveríamos parametrizar a elipse, ou tentar escrever
como função de
ou
como função de
, tarefas estas não muito simpáticas. Ao invés disso, vamos obter os extremos de
sujeitos a condição
Passo 1
O enunciado pede os extremos da função
restrita à elipse dada por
O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos achar pontos em que ∇f é proporcional a ∇g, sujeitos à restrição
.
Passo 2
Formulamos o sistema de Lagrange com multiplicador
:
ou seja
acompanhado da condição
Passo 3
Escrevemos as equações:
Passo 4
Da segunda equação,
. Se
então a primeira daria
, impossível. Logo
Passo 5
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Aplicamos
na restrição:
e então
Passo 7
Os candidatos são
Como
, em
dá máximo e em
dá mínimo.
Resposta
O valor máximo de
na elipse é
e o valor mínimo é