- Exemplo 10.18: Determinar os pontos extremos da função
sob a condição
.
Solução: Seja
.
Passo 1
O enunciado pede determinar os pontos extremos de
sujeitos à restrição
. O conteúdo envolvido é o método dos multiplicadores de Lagrange, em que usamos a condição
com
.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
As equações de primeira ordem são
Passo 3
Da equação
segue que ou
ou
.
Da equação segue que ou
ou
.
Da equação
Passo 4
No caso
, a restrição impõe
, ou seja
e consistentemente
dá
.
No caso
, a restrição impõe
, ou seja
e consistentemente
dá
.
Passo 5
Avaliando
nesses candidatos temos
Como o domínio dado pela restrição é fechado e limitado, o menor valor
é o mínimo e o maior valor
é o máximo.
Resposta
Os pontos de mínimo são
e
, com valor mínimo
.
Os pontos de máximo são e
, com valor máximo
.
Os pontos de máximo são