• Exemplo 10.18: Determinar os pontos extremos da função f(x, y)=x^2+y^2 sob a condição x^2+2 y^2=1.
Solução: Seja F(x, y)=(x^2+y^2)+lambda(x^2+2 y^2-1).

Passo 1

O enunciado pede determinar os pontos extremos de f(x,y)=x^2+y^2 sujeitos à restrição x^2+2y^2=1. O conteúdo envolvido é o método dos multiplicadores de Lagrange, em que usamos a condição nabla f=lambda,nabla g com g(x,y)=x^2+2y^2-1.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
F(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda,(x^2+2y^2-1)
As equações de primeira ordem são
partial Fpartial x=2x+2lambda x=0,
partial Fpartial y=2y+4lambda y=0,
partial Fpartial lambda=x^2+2y^2-1=0

Passo 3

Da equação 2x(1+lambda)=0 segue que ou x=0 ou lambda=-1.
Da equação 2y(1+2lambda)=0 segue que ou y=0 ou lambda=-tfrac12.

Passo 4

No caso x=0, a restrição impõe 2y^2=1, ou seja
y=pm1raiz2,
e consistentemente 1+2lambda=0 lambda=-tfrac12.
No caso y=0, a restrição impõe x^2=1, ou seja
x=pm1,
e consistentemente 1+lambda=0 lambda=-1.

Passo 5

Avaliando f nesses candidatos temos
fl(0,pmtfrac1raiz2r)=0^2+l(tfrac1raiz2r)^2=tfrac12,
f(pm1,0)=1^2+0^2=1
Como o domínio dado pela restrição é fechado e limitado, o menor valor tfrac12 é o mínimo e o maior valor 1 é o máximo.

Resposta

Os pontos de mínimo são l(0,tfrac1raiz2r) e l(0,-tfrac1raiz2r), com valor mínimo f=tfrac12.
Os pontos de máximo são l(1,0r) e l(-1,0r), com valor máximo f=1.

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