Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas (explicitadas):
- A função integranda é
, isto é, . - O objetivo é encontrar uma primitiva geral, ou seja, uma expressão em
mais uma constante de integração .
Passo 2
Primeiro passo algébrico: usar uma identidade trigonométrica básica que relaciona
com
. A identidade é
Essa identidade vem de
(derivada da identidade pitagórica para seno e cosseno dividida por
). Vou aplicar essa identidade para reduzir a potência.
Passo 3
Reescrevendo a integranda usando
e a identidade do passo anterior:
Portanto a integral se separa em duas:
Passo 4
Calcular a primeira integral
.
Aqui é natural fazer a substituição
Aqui é natural fazer a substituição
Então derivando,
Substituindo na integral:
Voltando a
:
Passo 5
Calcular a segunda integral
.
Usa-se novamente a identidade :
Usa-se novamente a identidade
Sabe-se que
, então
Logo
Passo 6
Agora combinar os resultados das duas integrais (lembrando do sinal negativo entre elas):
Simplificando:
onde
é a constante de integração geral (absorvendo
e
).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida
usando
, obtém-se após álgebra que
. Isso confirma que a primitiva está correta.