Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{cotg}^{4} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cotg}^{4} x\,dx.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função integranda é \operatorname{cotg}^{4} x, isto é, \cot^4 x.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva geral, ou seja, uma expressão em x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: usar uma identidade trigonométrica básica que relaciona \cot^2 x com \csc^2 x. A identidade é
\cot^2 x = \csc^2 x - 1.
Essa identidade vem de \csc^2 x = 1 + \cot^2 x (derivada da identidade pitagórica para seno e cosseno dividida por \sin^2 x). Vou aplicar essa identidade para reduzir a potência.

Passo 3

Reescrevendo a integranda usando \cot^4 x = \cot^2 x\cdot\cot^2 x e a identidade do passo anterior:
\cot^4 x = \cot^2 x\,(\csc^2 x - 1) = \cot^2 x\,\csc^2 x - \cot^2 x.
Portanto a integral se separa em duas:
\int \cot^4 x\,dx = \int \cot^2 x\,\csc^2 x\,dx \;-\; \int \cot^2 x\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral \displaystyle \int \cot^2 x\,\csc^2 x\,dx.
Aqui é natural fazer a substituição
u = \cot x.
Então derivando,
du = -\csc^2 x\,dx \quad\Rightarrow\quad \csc^2 x\,dx = -du.
Substituindo na integral:
\int \cot^2 x\,\csc^2 x\,dx = \int u^2 (-du) = -\int u^2\,du = -\frac{u^3}{3} + C_1.
Voltando a x:
\int \cot^2 x\,\csc^2 x\,dx = -\frac{\cot^3 x}{3} + C_1.

Passo 5

Calcular a segunda integral \displaystyle \int \cot^2 x\,dx.
Usa-se novamente a identidade \cot^2 x = \csc^2 x - 1:
\int \cot^2 x\,dx = \int (\csc^2 x - 1)\,dx = \int \csc^2 x\,dx - \int 1\,dx.
Sabe-se que \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x, então
\int \csc^2 x\,dx = -\cot x.
Logo
\int \cot^2 x\,dx = -\cot x - x + C_2.

Passo 6

Agora combinar os resultados das duas integrais (lembrando do sinal negativo entre elas):
\int \cot^4 x\,dx = \Big(-\frac{\cot^3 x}{3}\Big) \;-\; \big(-\cot x - x\big) + C.
Simplificando:
\int \cot^4 x\,dx = -\frac{\cot^3 x}{3} + \cot x + x + C,
onde C é a constante de integração geral (absorvendo C_1 e C_2).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida
F(x) = -\frac{\cot^3 x}{3} + \cot x + x
usando \dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x, obtém-se após álgebra que F'(x)=\cot^4 x. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{\cot^3 x}{3} + \cot x + x + C

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