Calcule as integrais indefinidas:
\int \sqrt{1-9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raiz1 - 9x^2,dx
Esse tipo de integral lembra a forma raiza^2-u^2, então vamos usar substituição trigonométrica: x = tfrac13sintheta.

Passo 2

Fazendo
x = tfrac13sintheta, dx = tfrac13costheta,dtheta, raiz1-9x^2 = raiz1-sin^2theta = costheta,
a integral vira
integral raiz1-9x^2,dx = integral costheta cdot tfrac13costheta,dtheta = tfrac13integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade de duplicação
cos^2theta = tfrac1+cos(2theta)2,
então
tfrac13integral cos^2theta,dtheta = tfrac13integral tfrac1+cos(2theta)2,dtheta = tfrac16integral l(1+cos(2theta)r),dtheta

Passo 4

Integrando termo a termo, obtemos
tfrac16l(theta + tfrac12sin(2theta)r) + C = tfractheta6 + tfracsin(2theta)12 + C

Passo 5

Voltando para x:
theta = arcsin(3x), sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2,(3x),raiz1-9x^2 = 6xraiz1-9x^2
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tfractheta6 + tfracsin(2theta)12 = tfrac16arcsin(3x) + tfrac112l(6xraiz1-9x^2r) = tfrac16arcsin(3x) + tfracx2raiz1-9x^2

Resposta

integral raiz1-9x^2,dx = x2raiz1-9x^2 + 16arcsin(3x) + C

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