Encontre os valores máximo e minimo locais de f usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivadas. Qual método você prefere?
f(x)=1+3 x^2-2 x^3

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais de f(x)=1+3x^2-2x^3 usando os testes da primeira e da segunda derivada. O conteúdo envolvido é encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0) e depois classificar esses pontos usando sinal da derivada e/ou valor da segunda derivada.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira de f. Pelo poder e pela soma de derivadas:
f'(x)=ddxl(1+3x^2-2x^3r)=6x-6x^2=6x(1-x)

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=6x(1-x)=0
isso dá as soluções
x=0ou x=1

Passo 4

Agora aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro obtemos
f''(x)=ddxl(6x-6x^2r)=6-12x
Em seguida avaliamos em cada ponto crítico:
f''(0)=6-12cdot0=6>0Rightarrow;mínimo local em x=0, í
f''(1)=6-12cdot1=-6<0Rightarrow;máximo local em x=1 á

Passo 5

Podemos confirmar com o teste da primeira derivada, observando o sinal de f'(x)=6x(1-x):
  • Para x<0, f'(x)<0 (decrescente antes de 0).
  • Para 0<x<1, f'(x)>0 (crescente entre 0 e 1).
  • Para x>1, f'(x)<0 (decrescente após 1).
Logo em x=0 há mudança de decrescente para crescente (mínimo) e em x=1 de crescente para decrescente (máximo), confirmando o teste da segunda derivada.

Passo 6

Entre os dois métodos, eu prefiro o teste da segunda derivada porque, depois de achar f''(x), basta avaliar em cada ponto crítico para classificar o extremo, sem precisar fazer análise de intervalo.

Resposta

Ocorre mínimo local em x=0 com valor f(0)=1 e máximo local em x=1 com valor f(1)=2. Prefiro o teste da segunda derivada pela sua rapidez e simplicidade.

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