Encontre os valores máximo e minimo locais de
usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivadas. Qual método você prefere?
Passo 1
O enunciado pede os extremos locais de
usando os testes da primeira e da segunda derivada. O conteúdo envolvido é encontrar pontos críticos (onde
) e depois classificar esses pontos usando sinal da derivada e/ou valor da segunda derivada.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira de
. Pelo poder e pela soma de derivadas:
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos
isso dá as soluções
Passo 4
Agora aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro obtemos
Em seguida avaliamos em cada ponto crítico:
Passo 5
Podemos confirmar com o teste da primeira derivada, observando o sinal de
:
- Para
, (decrescente antes de ). - Para
, (crescente entre e ). - Para
, (decrescente após ).
Logo em
há mudança de decrescente para crescente (mínimo) e em
de crescente para decrescente (máximo), confirmando o teste da segunda derivada.
Passo 6
Entre os dois métodos, eu prefiro o teste da segunda derivada porque, depois de achar
, basta avaliar em cada ponto crítico para classificar o extremo, sem precisar fazer análise de intervalo.
Resposta
Ocorre mínimo local em
com valor
e máximo local em
com valor
. Prefiro o teste da segunda derivada pela sua rapidez e simplicidade.