Calcule as integrais indefinidas:
\int x^{5} \sqrt{2-x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^5raiz2 - x^3,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois dentro da raiz aparece uma função simples de x cuja derivada (até um fator constante) também aparece fora dela.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 - x^3
então
du = -3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = -13,du

Passo 3

Reescrevemos x^5,dx como x^3cdot x^2,dx. Note que x^3 = 2 - u, logo
x^5,dx = (x^3),(x^2,dx) = (2 - u)l(-13,dur) = -13(2 - u),du
A raiz vira raizu. Assim a integral em u é
integral x^5raiz2 - x^3,dx = integral -13(2 - u),u^1/2,du = -13integrall(2u^1/2-u^3/2r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo em u:
-13integral 2u^1/2,du = -23cdotu^3/2tfrac32 = -23cdot23u^3/2 = -49u^3/2,
-13integral (-u^3/2),du = 13cdotu^5/2tfrac52 = 13cdot25u^5/2 = 215u^5/2
Somando as duas partes, obtemos a primitiva em u:
-49u^3/2 + 215u^5/2 + C

Passo 5

Voltando para x com u = 2 - x^3, a antiderivada fica
-49(2 - x^3)^3/2 + 215(2 - x^3)^5/2 + C

Passo 6

Podemos reescrever na ordem crescente de potências de (2 - x^3), mas a forma acima já é uma expressão simples e correta para a primitiva.

Resposta

-49(2 - x^3)^3/2 + 215(2 - x^3)^5/2 + C

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