Calcule as integrais indefinidas
\int \sqrt[3]{8(t-2)^{6}\left(t+\frac{1}{2}\right)^{3}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt[3]{8\,(t-2)^{6}\,\bigl(t+\tfrac12\bigr)^{3}}\;dt.
Aqui o conteúdo é manipular radicais e integrar um polinômio após simplificação.

Passo 2

Primeiro tiramos a raiz cúbica dos fatores:
\sqrt[3]{8} = 2,\quad \sqrt[3]{(t-2)^{6}} = (t-2)^{2},\quad \sqrt[3]{\bigl(t+\tfrac12\bigr)^{3}} = t+\tfrac12.
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\sqrt[3]{8\,(t-2)^{6}\,\bigl(t+\tfrac12\bigr)^{3}} =2\,(t-2)^{2}\,\Bigl(t+\tfrac12\Bigr).

Passo 3

Expandindo o polinômio:
2\,(t-2)^{2}\,\Bigl(t+\tfrac12\Bigr) =2\bigl(t^{2}-4t+4\bigr)\Bigl(t+\tfrac12\Bigr) =2t^{3}-7t^{2}+4t+4.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \bigl(2t^{3}-7t^{2}+4t+4\bigr)\,dt =\int 2t^{3}\,dt \;-\;\int7t^{2}\,dt\;+\;\int4t\,dt\;+\;\int4\,dt
=\frac{2\,t^{4}}{4}-\frac{7\,t^{3}}{3}+2\,t^{2}+4\,t + C =\frac{t^{4}}{2}-\frac{7t^{3}}{3}+2t^{2}+4t + C.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{4}}{2}-\frac{7t^{3}}{3}+2t^{2}+4t + C

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