Calcule as integrais indefinidas
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\Bigr)\,dt.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e as regras básicas:
– integração de e^{t},
– integração de potências t^{n},
– integração de 1/t.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral para escrever
\int\Bigl(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\Bigr)\,dt = \int\frac{e^{t}}{2}\,dt + \int t^{\tfrac12}\,dt + \int\frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Para \displaystyle \int\frac{e^{t}}{2}\,dt, a constante 1/2 sai da integral e temos
\int\frac{e^{t}}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int e^{t}\,dt = \frac{1}{2}e^{t}.

Passo 4

Para \displaystyle \int t^{\tfrac12}\,dt, usamos a regra da potência \int t^{n}\,dt = t^{n+1}/(n+1):
\int t^{\tfrac12}\,dt = \frac{t^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32}.

Passo 5

Para \displaystyle \int\frac{1}{t}\,dt, é a integral que gera o logaritmo natural:
\int\frac{1}{t}\,dt = \ln\bigl|t\bigr|.

Passo 6

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\frac{e^{t}}{2} + \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} + \ln\bigl|t\bigr| + C.

Resposta

\int\Bigl(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\Bigr)\,dt = \frac{e^{t}}{2} + \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} + \ln\bigl|t\bigr| + C.

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