16 (UFMT) Os vértices de um triângulo são os pontos A(1,4), B(4,9) e C(10,15). O comprimento da mediana \overline{\mathrm{AM}} é:
a) 17
b) 13
c) 10
d) 9
e) 8

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices A(1,4), B(4,9) e C(10,15) e pede o comprimento da mediana \overline{AM}, onde M é o ponto médio de BC. Vamos usar geometria analítica: primeiro encontramos M pelo ponto médio e depois calculamos a distância AM.

Passo 2

As coordenadas de M vêm da fórmula do ponto médio entre B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C):
M = \Bigl(\tfrac{x_B + x_C}{2},\,\tfrac{y_B + y_C}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{4 + 10}{2},\,\tfrac{9 + 15}{2}\Bigr) = (7,\,12).

Passo 3

Usamos a fórmula da distância entre A(x_A,y_A) e M(x_M,y_M):
AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (12 - 4)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.

Resposta

c) 10

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