Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int \ln (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \ln(5x)\,dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Precisamos escolher duas funções para u e dv. A ideia é que u seja algo cuja derivada simplifique a integral, e dv seja algo fácil de integrar. Aqui faz sentido escolher
u = \ln(5x), \quad dv = dx.

Passo 3

Calculamos du e v a partir das escolhas:
– Para u = \ln(5x), como \ln(5x)=\ln5+\ln x, temos
du = \frac{d}{dx}[\ln(5x)]\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
– Para dv = dx, basta integrar:
v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de partes:
\int \ln(5x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln(5x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Dentro da integral sobra
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x,
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\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - x + C.

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