Calcule as integrais indefinidas
\int \tan ^{2} x \csc ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^{2}x \,\csc^{2}x \,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades básicas (seno e cosseno) e a integral de \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Usamos as definições \tan^{2}x=\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} e \csc^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}.
Portanto, em forma exibida:
\tan^{2}x \,\csc^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\,\frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec}^{2}x.
A integral fica então
\int \tan^{2}x \,\csc^{2}x \,dx = \int \operatorname{sec}^{2}x \,dx.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Logo, a integral de \operatorname{sec}^{2}x é
\int \operatorname{sec}^{2}x \,dx = \tan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\tan x + C

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