Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{|x|}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
f(x) = \frac{\lvert x\rvert}{x}.
Aqui precisamos lembrar que o denominador não pode ser zero e interpretar a função valor absoluto em duas regiões: x>0 e x<0.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo x \neq 0 (para evitar divisão por zero). Assim
\text{Dom}(f) = (-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Para achar a imagem, analisamos o valor de f(x) em cada região:
  • Se x>0, então \lvert x\rvert = x e
f(x) = \frac{x}{x} = 1.
  • Se x<0, então \lvert x\rvert = -x e
f(x) = \frac{-x}{x} = -1.
Logo
\text{Im}(f) = \{-1,\,1\}.

Passo 4

O gráfico de f é composto por duas retas horizontais, sem valor em x=0:
  • Para x<0, y=-1, com ponto aberto em (0,-1).
  • Para x>0, y=1, com ponto aberto em (0,1).
Em outras palavras, é uma “função degrau” que vale -1 à esquerda de zero e 1 à direita de zero.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Imagem: \{-1,\,1\}
Gráfico: reta y=-1 para x<0 e reta y=1 para x>0, sem pontos em x=0.

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