Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=|x-1|+2

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=|x-1|+2.
Este é um caso de função valor absoluto, que podemos tratar por definição de forma \emph{piecewise} (por trechos lineares).

Passo 2

Para todo x\in\mathbb{R} a expressão |x-1| está bem definida. Portanto
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Usamos a definição
|x-1|=\begin{cases} -(x-1),&x<1,\\\ x-1,&x\ge1, \end{cases}
e obtemos
f(x)=|x-1|+2 =\begin{cases} -(x-1)+2=-x+3,&x<1,\\\ (x-1)+2=x+1,&x\ge1. \end{cases}

Passo 4

Cada ramo é uma reta de inclinação -1 (quando x<1) ou +1 (quando x\ge1). O ponto de menor valor ocorre no vértice x=1, onde
f(1)=|1-1|+2=2.
Como as retas vão a +\infty quando x\to\pm\infty, concluímos
\text{Imagem}(f)=[2,\infty).

Passo 5

O gráfico é em forma de “V” com vértice em (1,2).
  • Para x<1 é a reta de equação y=-x+3, passando por, por exemplo, (0,3).
  • Para x>1 é a reta de equação y=x+1, passando por, por exemplo, (2,3).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [2,\infty)
O gráfico é um “V” com vértice em (1,2), ramos de inclinação -1 para x<1 e +1 para x>1.

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