Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int x^{2} \sqrt{3-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\sqrt{3-2x}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo da matéria envolve escolher uma nova variável que simplifique a expressão sob a raiz e reescrever toda a integral em função dessa variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3 - 2x,
de modo que
du = -2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\tfrac12\,du.
Além disso, expressamos x em função de u:
x = \tfrac{3 - u}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = \tfrac{(3 - u)^{2}}{4}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int x^{2}\sqrt{3-2x}\,dx = \int \frac{(3-u)^{2}}{4}\,u^{\tfrac12}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{8}\int (3-u)^{2}\,u^{\tfrac12}\,du.
Expandindo o produto
(3-u)^{2}\,u^{\tfrac12} = \bigl(9 - 6u + u^{2}\bigr)\,u^{\tfrac12} = 9\,u^{\tfrac12} \;-\; 6\,u^{\tfrac32} \;+\; u^{\tfrac52},
fica
-\tfrac{1}{8}\int \bigl(9\,u^{\tfrac12} - 6\,u^{\tfrac32} + u^{\tfrac52}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos cada termo em u:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}, \quad \int u^{\tfrac32}\,du = \frac{2}{5}\,u^{\tfrac52}, \quad \int u^{\tfrac52}\,du = \frac{2}{7}\,u^{\tfrac72}.
Logo,
-\tfrac{1}{8}\Bigl[ 9\cdot\tfrac{2}{3}\,u^{\tfrac32} \;-\; 6\cdot\tfrac{2}{5}\,u^{\tfrac52} \;+\; 1\cdot\tfrac{2}{7}\,u^{\tfrac72} \Bigr] + C.
Simplificando os coeficientes:
-\tfrac{1}{8}\Bigl(6\,u^{\tfrac32} - \tfrac{12}{5}\,u^{\tfrac52} + \tfrac{2}{7}\,u^{\tfrac72}\Bigr) = -\tfrac{6}{8}\,u^{\tfrac32} + \tfrac{12}{40}\,u^{\tfrac52} - \tfrac{2}{56}\,u^{\tfrac72} + C
= -\tfrac{3}{4}\,u^{\tfrac32} + \tfrac{3}{10}\,u^{\tfrac52} - \tfrac{1}{28}\,u^{\tfrac72} + C.

Passo 5

Substituindo de volta u = 3 - 2x, obtemos a antiderivada em função de x:
-\tfrac{3}{4}\,(3 - 2x)^{\tfrac32} + \tfrac{3}{10}\,(3 - 2x)^{\tfrac52} - \tfrac{1}{28}\,(3 - 2x)^{\tfrac72} + C.

Resposta

\int x^{2}\sqrt{3-2x}\,dx = -\tfrac{3}{4}\,(3 - 2x)^{\tfrac32} + \tfrac{3}{10}\,(3 - 2x)^{\tfrac52} - \tfrac{1}{28}\,(3 - 2x)^{\tfrac72} + C.

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