Calcule as integrais indefinidas:
\int \cos ^{3}(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos^3(4x),dx
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas e vamos usar a identidade de redução de potência obtida a partir da fórmula do ângulo triplo.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(3theta)=4cos^3(theta)-3cos(theta)
que implica
cos^3(theta)=cos(3theta)+3cos(theta)4
Aplicando com theta=4x, temos
cos^3(4x)=cos(12x)+3cos(4x)4

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral cos^3(4x),dx =integral cos(12x)+3cos(4x)4,dx =14integral cos(12x),dx +34integral cos(4x),dx

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
integral cos(12x),dx=112sin(12x), integral cos(4x),dx=14sin(4x)
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14integral cos(12x),dx =14cdot112sin(12x) =148sin(12x),
34integral cos(4x),dx =34cdot14sin(4x) =316sin(4x)

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral cos^3(4x),dx =316sin(4x)+148sin(12x)+C

Resposta

boxed316sin(4x)+148sin(12x)+C

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