Calcule as integrais indefinidas:
\int \sqrt{1+\sin (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raiz1+sin(x),dx
Este é um problema de integração que usa identidades trigonométricas, em especial a identidade de meio-ângulo para escrever 1+sin(x) como um quadrado perfeito.

Passo 2

Usamos a identidade
sin(x)=2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r)
para reescrever
1+sin(x) =1+2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r) =sin^2l(tfracx2r)+cos^2l(tfracx2r) +2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r) =l(sinl(tfracx2r)+cosl(tfracx2r)r)^2

Passo 3

Como assumimos o ramo principal (positivo), temos
raiz1+sin(x) =sinl(tfracx2r)+cosl(tfracx2r)
Substituindo na integral,
integral raiz1+sin(x),dx =integrall[sinl(tfracx2r)+cosl(tfracx2r)r],dx

Passo 4

Agora dividimos em duas integrais e usamos que
integral sinl(tfracx2r),dx =-2cosl(tfracx2r), integral cosl(tfracx2r),dx =2sinl(tfracx2r)
Portanto,
integral l[sinl(tfracx2r)+cosl(tfracx2r)r],dx =-2cosl(tfracx2r)+2sinl(tfracx2r)+C

Resposta

integral raiz1+sin(x),dx =-2cosl(tfracx2r) +2sinl(tfracx2r) + C

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