Calcule as integrais indefinidas
\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}}\,dx
Isso é um exercício de integrais de funções racionais, onde vamos usar a divisão de polinômios para reescrever o integrando como soma de potências de x e em seguida aplicar as regras básicas de integração de potências.

Passo 2

Primeiro, dividimos cada termo do numerador por x^{2}:
\frac{x^{2}+1}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 1 + x^{-2}.
Logo, a integral fica
\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}}\,dx = \int \bigl(1 + x^{-2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos as regras de integração termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}. Somando as partes, obtemos
\int \bigl(1 + x^{-2}\bigr)\,dx = x - x^{-1} + C.

Resposta

x - \frac{1}{x} + C

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