Calcule as integrais indefinidas:
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2} \, dx.
Informações do enunciado:
\text{Integrando: } x\left(1-x^{2}\right)^{2}.
Não há restrições adicionais; a resposta deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) com constante de integração.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e motivadora): aqui vemos um fator x multiplicando uma função de x^{2}. Isso sugere tentar uma substituição que transforme 1-x^{2} em uma nova variável, pois a derivada de 1-x^{2} é proporcional a x. A técnica que vamos usar é a substituição (método clássico de mudança de variável em integrais).

Passo 3

Aplicando a substituição: defina
u = 1 - x^{2}.
Agora calcule du. Derivando em relação a x:
\frac{du}{dx} = -2x,
portanto
du = -2x\,dx.
Isolando x\,dx (porque aparece na integral original):
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u: substitua 1-x^{2} por u e x\,dx por -\tfrac{1}{2}du. Assim
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2} dx = \int u^{2}\left(-\frac{1}{2}\,du\right).
Tirando a constante fora da integral:
= -\frac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Passo 5

Integre em u: a primitiva de u^{2} é \tfrac{u^{3}}{3}. Então
-\frac{1}{2}\int u^{2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{1}{6}u^{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volte para a variável original x: como u=1-x^{2}, obtemos
-\frac{1}{6}u^{3}+C = -\frac{1}{6}\left(1-x^{2}\right)^{3} + C.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derive a resposta obtida e confira que volta ao integrando. Calculando
\frac{d}{dx}\left[-\frac{1}{6}\left(1-x^{2}\right)^{3}\right] = -\frac{1}{6}\cdot 3\left(1-x^{2}\right)^{2}\cdot(-2x) = x\left(1-x^{2}\right)^{2},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{6}\left(1-x^{2}\right)^{3}+C

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