Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações do enunciado:
Não há restrições adicionais; a resposta deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) com constante de integração.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e motivadora): aqui vemos um fator
multiplicando uma função de
. Isso sugere tentar uma substituição que transforme
em uma nova variável, pois a derivada de
é proporcional a
. A técnica que vamos usar é a substituição (método clássico de mudança de variável em integrais).
Passo 3
Aplicando a substituição: defina
Agora calcule
. Derivando em relação a
:
portanto
Isolando
(porque aparece na integral original):
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
: substitua
por
e
por
. Assim
Tirando a constante fora da integral:
Passo 5
Integre em
: a primitiva de
é
. Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volte para a variável original
: como
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derive a resposta obtida e confira que volta ao integrando. Calculando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.