Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar (integrando) é
. - A variável de integração é
. - Trata-se de integral indefinida, portanto o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que podemos integrar termo a termo. Em forma matemática:
e, se
é constante,
Aqui aplicamos essa propriedade a
.
Passo 3
A regra principal que vamos usar é a regra da potência para integrais. Ela afirma que, para qualquer número real
,
Explicando:
é o expoente da variável
. Ao integrar, aumentamos o expoente em
e dividimos pelo novo expoente
. O
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando a linearidade, separamos a integral:
Passo 5
Calculemos
usando a regra da potência com
:
(Observe que este
é uma constante parcial; no resultado final teremos apenas uma constante geral.)
Passo 6
Agora calculemos
. Primeiro fatoramos a constante:
Aplicando a regra da potência com
:
Portanto
Passo 7
Voltando e combinando os resultados (e lembrando de juntar as constantes em uma só
):
Passo 8
Vamos checar rapidamente derivando o resultado para ver se voltamos ao integrando. Derivando
:
Somando:
, que é exatamente o integrando. Está certo!