Calcule as integrais a seguir:
\int\left(t^{2}-6 t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int\left(t^{2}-6 t\right)\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar (integrando) é \displaystyle t^{2}-6t.
  • A variável de integração é t.
  • Trata-se de integral indefinida, portanto o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que podemos integrar termo a termo. Em forma matemática:
\int\big( f(t)+g(t)\big)\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt
e, se a é constante,
\int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Aqui aplicamos essa propriedade a \displaystyle t^{2}-6t.

Passo 3

A regra principal que vamos usar é a regra da potência para integrais. Ela afirma que, para qualquer número real n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando: n é o expoente da variável t. Ao integrar, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente n+1. O +C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a linearidade, separamos a integral:
\int\left(t^{2}-6t\right)\,dt=\int t^{2}\,dt - \int 6t\,dt.

Passo 5

Calculemos \displaystyle \int t^{2}\,dt usando a regra da potência com n=2:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{2+1}}{2+1}+C=\frac{t^{3}}{3}+C.
(Observe que este C é uma constante parcial; no resultado final teremos apenas uma constante geral.)

Passo 6

Agora calculemos \displaystyle \int 6t\,dt. Primeiro fatoramos a constante:
\int 6t\,dt = 6\int t\,dt.
Aplicando a regra da potência com n=1:
\int t\,dt=\frac{t^{1+1}}{1+1}+C=\frac{t^{2}}{2}+C.
Portanto
6\int t\,dt = 6\cdot\frac{t^{2}}{2}=3t^{2}.

Passo 7

Voltando e combinando os resultados (e lembrando de juntar as constantes em uma só C):
\int\left(t^{2}-6t\right)\,dt = \frac{t^{3}}{3} - 3t^{2} + C.

Passo 8

Vamos checar rapidamente derivando o resultado para ver se voltamos ao integrando. Derivando \displaystyle \frac{t^{3}}{3}-3t^{2}+C:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}\right)=t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\!\left(-3t^{2}\right)=-6t,\qquad \frac{d}{dt}\text{(C)}=0.
Somando: t^{2}-6t, que é exatamente o integrando. Está certo!

Resposta

\displaystyle \frac{t^{3}}{3}-3t^{2}+C

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