Calcule as integrais a seguir:
\int\left(x^{5}+\frac{1}{x^{3}}+4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(x^{5}+\frac{1}{x^{3}}+4\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{5}+\dfrac{1}{x^{3}}+4.
  • A variável de integração é x.
  • A pergunta é: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{5}+\dfrac{1}{x^{3}}+4.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmula:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.
Aqui podemos aplicar essa regra para separar a integral em três partes.

Passo 3

Primeiro reescrevemos a parcela com potência negativa para trabalhar com a regra da potência:
\frac{1}{x^{3}}=x^{-3}.
Assim a integral fica
\int\left(x^{5}+x^{-3}+4\right)\,dx=\int x^{5}\,dx+\int x^{-3}\,dx+\int 4\,dx.

Passo 4

Regra da potência (fórmula que vamos usar): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número qualquer (o expoente) e C é a constante de integração.
Regra da integral de constante: para constante a,
\int a\,dx = a x + C.

Passo 5

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \int x^{5}\,dx:
aqui n=5, então
\int x^{5}\,dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}=\frac{x^{6}}{6}.

Passo 6

Aplicando a regra da potência ao segundo termo \int x^{-3}\,dx:
aqui n=-3, então
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=\frac{x^{-2}}{-2}.
Simplificando, isso é
\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 7

Aplicando a regra da constante ao terceiro termo \int 4\,dx:
\int 4\,dx=4x.

Passo 8

Somando as três primitivas (pela linearidade) e adicionando a constante de integração C:
\int\left(x^{5}+\frac{1}{x^{3}}+4\right)\,dx=\frac{x^{6}}{6}-\frac{1}{2x^{2}}+4x+C.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{6}}{6}-\frac{1}{2x^{2}}+4x+C\right)=x^{5}+x^{-3}+4,
que é exatamente o integrando reescrito como x^{5}+\dfrac{1}{x^{3}}+4. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{6}}{6}-\frac{1}{2x^{2}}+4x+C

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