Calcule as integrais indefinidas:
\int \epsilon^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \epsilon^{3x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \epsilon^{3x}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\epsilon^{3x}.
  • Não foi explicitado se \epsilon é a base do logaritmo natural e ou apenas uma constante qualquer. Por precaução, vamos tratar o caso geral em que \epsilon é uma constante positiva diferente de 1, e também comentar os casos especiais \epsilon=e e \epsilon=1.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica sobre exponenciais que usaremos: se a>0 é uma constante, então
\frac{d}{du}\bigl(a^{u}\bigr)=a^{u}\ln a.
Explicação dessa igualdade (para não deixar sobrando nada): escrevemos a^{u}=e^{u\ln a}. Diferenciando usando a regra da cadeia obtemos
\frac{d}{du}e^{u\ln a}=e^{u\ln a}\cdot\ln a=a^{u}\ln a.
Portanto a derivada de a^{u} é a^{u}\ln a.

Passo 3

Da regra do passo anterior segue imediatamente a primitiva padrão para exponenciais de base a:
\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C,
onde C é a constante de integração. Isso é verificado porque, ao derivar \frac{a^{u}}{\ln a}, usando a regra do passo 2, obtemos \frac{a^{u}\ln a}{\ln a}=a^{u}.
Observação importante: essa fórmula requer \ln a\neq 0, isto é, a\neq 1. O caso a=1 é trivial pois 1^{u}=1 e \int 1\,du = u + C.

Passo 4

Agora aplicamos isso ao nosso problema. A integral é
\int \epsilon^{3x}\,dx.
Fazemos a substituição simples u=3x. Então du=3\,dx, ou equivalentemente dx=\dfrac{du}{3}.

Passo 5

Substituindo na integral:
\int \epsilon^{3x}\,dx = \int \epsilon^{u}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \epsilon^{u}\,du.
Agora usamos a fórmula do passo 3 para \int \epsilon^{u}\,du. Supondo \epsilon>0 e \epsilon\neq1,
\int \epsilon^{u}\,du = \frac{\epsilon^{u}}{\ln\epsilon}+C.
Logo
\frac{1}{3}\int \epsilon^{u}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{\epsilon^{u}}{\ln\epsilon}+C = \frac{\epsilon^{u}}{3\ln\epsilon}+C.
Voltando à variável x (substituindo u=3x):
\int \epsilon^{3x}\,dx = \frac{\epsilon^{3x}}{3\ln\epsilon}+C,
válido quando \epsilon>0 e \epsilon\neq1.

Passo 6

Casos especiais:
  • Se \epsilon=e (a base dos logaritmos naturais), então \ln\epsilon=\ln e=1 e a fórmula dá
\int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3}+C.
  • Se \epsilon=1, temos \epsilon^{3x}=1 e a integral é
\int 1\,dx = x + C.
Portanto o caso \epsilon=1 precisa ser tratado separadamente porque na fórmula geral dividiríamos por \ln\epsilon=0, o que não é permitido.

Resposta

\displaystyle \int \epsilon^{3x}\,dx = \frac{\epsilon^{3x}}{3\ln\epsilon}+C para \epsilon>0,\\ \epsilon\neq1.\n \displaystyle \int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3}+C.\n \displaystyle \int 1^{3x}\,dx = \int 1\,dx = x + C (caso \epsilon=1).

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