Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Não foi explicitado se
é a base do logaritmo natural ou apenas uma constante qualquer. Por precaução, vamos tratar o caso geral em que é uma constante positiva diferente de , e também comentar os casos especiais e .
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica sobre exponenciais que usaremos: se
é uma constante, então
Explicação dessa igualdade (para não deixar sobrando nada): escrevemos
. Diferenciando usando a regra da cadeia obtemos
Portanto a derivada de
é
.
Passo 3
Da regra do passo anterior segue imediatamente a primitiva padrão para exponenciais de base
:
onde
é a constante de integração. Isso é verificado porque, ao derivar
, usando a regra do passo 2, obtemos
.
Observação importante: essa fórmula requer
, isto é,
. O caso
é trivial pois
e
.
Passo 4
Agora aplicamos isso ao nosso problema. A integral é
Fazemos a substituição simples
. Então
, ou equivalentemente
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora usamos a fórmula do passo 3 para
. Supondo
e
,
Logo
Voltando à variável
(substituindo
):
válido quando
e
.
Passo 6
Casos especiais:
- Se
(a base dos logaritmos naturais), então e a fórmula dá
- Se
, temos e a integral é
Portanto o caso
precisa ser tratado separadamente porque na fórmula geral dividiríamos por
, o que não é permitido.